Teorema del valor mitjà de Cauchy

En càlcul diferencial, el teorema del valor mitjà de Cauchy és una generalització del teorema del valor mitjà (de Lagrange). A partir d'aquest es pot demostrar la regla de l'Hôpital, molt útil per resoldre indeterminacions del tipus $\textstyle {\frac {0}{0}}$ i $\textstyle {\frac {\infty }{\infty }}$.

Teorema

El teorema diu el següent:

Siguin $\,f$ i $\,g$ dues funcions contínues a $\,[a,b]$ i derivables a $\,(a,b)$. Si $\,f'$ i $\,g'$ no s'anul·len simultàniament, llavors existeix $c\in (a,b)$ tal que: $\,g'(c)[f(b)-f(a)]=f'(c)[g(b)-g(a)]$ Augustin Louis Cauchy

Com s'ha dit anteriorment, aquest teorema és una generalització del teorema del valor mitjà de Lagrange, ja que aquest ocorre quan $\,g(x)=x$.

Demostració

Tenim dues funcions $\,f(x)$ i $\,g(x)$ continues a $\,[a,b]$ i derivables a $\,(a,b)$. A partir d'aquestes podem definir una nova funció com:

$\,h(x)=f(x)[g(b)-g(a)]-g(x)[f(b)-f(a)]$

Aquesta funció compleix el teorema de Rolle, ja que:

${\begin{aligned}h(a)=f(a)g(b)-f(b)g(a)\\h(b)=f(a)g(b)-f(b)g(a)\end{aligned}}$

Per tant, $\exists c\in (a,b):h'(c)=0$. Calculant la derivada de $\,h(x)$:

$\,h'(x)=f'(x)[g(b)-g(a)]-g'(x)[f(b)-f(a)]$

I introduint-hi el valor de $\,c$, veiem que

$\,h'(c)=f'(c)[g(b)-g(a)]-g'(c)[f(b)-f(a)]=0$

Que és equivalent al que volíem demostrar.

$\,g'(c)[f(b)-f(a)]=f'(c)[g(b)-g(a)]$

A més a més, si $g(b)\neq g(a)$ i $\,g'(c)\neq 0$, l'equació anterior es pot escriure com:

${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}$