En matemàtiques , la funció gamma el·líptica és una generalització de la funció q-gamma , la qual és en si mateixa un q-anàleg de la funció gamma ordinària.
Està íntimament relacionada amb la funció estudiada per Jackson (1905) , i pot ser expressada en termes de la funció gamma triple .
La seva representació és la següent:
Γ
(
z
;
p
,
q
)
=
∏
m
=
0
∞
∏
n
=
0
∞
1
−
p
m
+
1
q
n
+
1
/
z
1
−
p
m
q
n
z
.
{\displaystyle \Gamma (z;p,q)=\prod _{m=0}^{\infty }\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-p^{m+1}q^{n+1}/z}{1-p^{m}q^{n}z}}.}
Aquesta obeeix diverses identitats:
Γ
(
z
;
p
,
q
)
=
1
Γ
(
p
q
/
z
;
p
,
q
)
{\displaystyle \Gamma (z;p,q)={\frac {1}{\Gamma (pq/z;p,q)}}\,}
Γ
(
p
z
;
p
,
q
)
=
θ
(
z
;
q
)
Γ
(
z
;
p
,
q
)
{\displaystyle \Gamma (pz;p,q)=\theta (z;q)\Gamma (z;p,q)\,}
Γ
(
q
z
;
p
,
q
)
=
θ
(
z
;
p
)
Γ
(
z
;
p
,
q
)
,
{\displaystyle \Gamma (qz;p,q)=\theta (z;p)\Gamma (z;p,q),\,}
θ
{\displaystyle \theta }
funció q-theta .Quan
p
=
0
{\displaystyle p=0}
símbol q-Pochhammer infinit:
Γ
(
z
;
0
,
q
)
=
1
(
z
;
q
)
∞
.
{\displaystyle \Gamma (z;0,q)={\frac {1}{(z;q)_{\infty }}}.}
Fórmula de multiplicació
modifica
Definim
Γ
~
(
z
;
p
,
q
)
:=
(
q
;
q
)
∞
(
p
;
p
)
∞
(
θ
(
q
;
p
)
)
1
−
z
∏
m
=
0
∞
∏
n
=
0
∞
1
−
p
m
+
1
q
n
+
1
−
z
1
−
p
m
q
n
+
z
.
{\displaystyle {\tilde {\Gamma }}(z;p,q):={\frac {(q;q)_{\infty }}{(p;p)_{\infty }}}(\theta (q;p))^{1-z}\prod _{m=0}^{\infty }\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-p^{m+1}q^{n+1-z}}{1-p^{m}q^{n+z}}}.}
A continuació, s'hi afegeix la següent fórmula
r
=
q
n
{\displaystyle r=q^{n}}
Felder & Varchenko (2003) ).
Γ
~
(
n
z
;
p
,
q
)
Γ
~
(
1
/
n
;
p
,
r
)
Γ
~
(
2
/
n
;
p
,
r
)
⋯
Γ
~
(
(
n
−
1
)
/
n
;
p
,
r
)
=
(
θ
(
r
;
p
)
θ
(
q
;
p
)
)
n
z
−
1
Γ
~
(
z
;
p
,
r
)
Γ
~
(
z
+
1
/
n
;
p
,
r
)
⋯
Γ
~
(
z
+
(
n
−
1
)
/
n
;
p
,
r
)
.
{\displaystyle {\tilde {\Gamma }}(nz;p,q){\tilde {\Gamma }}(1/n;p,r){\tilde {\Gamma }}(2/n;p,r)\cdots {\tilde {\Gamma }}((n-1)/n;p,r)=\left({\frac {\theta (r;p)}{\theta (q;p)}}\right)^{nz-1}{\tilde {\Gamma }}(z;p,r){\tilde {\Gamma }}(z+1/n;p,r)\cdots {\tilde {\Gamma }}(z+(n-1)/n;p,r).}
Jackson , F. H. «The Basic Gamma-Function and the Elliptic Functions». Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character . The Royal Society, 76, 508, 1905, p. 127–144. DOI : 10.1098/rspa.1905.0011 . ISSN : 0950-1207 .Gasper , George; Rahman , Mizan. Basic hypergeometric series . 96. 2nd. Cambridge University Press , 2004. ISBN 978-0-521-83357-8 Ruijsenaars , S. N. M. «First order analytic difference equations and integrable quantum systems». Journal of Mathematical Physics DOI : 10.1063/1.531809 . ISSN : 0022-2488 . 
