Extensió d'Alexandroff

espai totpològic

En el camp matemàtic de la topologia, l'extensió d'Alexandroff és una forma d'estendre un espai topològic no compacte mitjançant l'addició d'un sol punt, donant com a resultat un espai compacte. Aquest concepte rep el nom del matemàtic rus Pavel Alexàndrov.

Més en concret, sigui X un espai topològic. Es defineix l'extensió d'Alexandroff de X com un cert espai compacte X* juntament amb un embedding obert c : X → X* tal que el complement de X dins X* consisteix d'un sol punt, denotat habitualment per ∞. L'aplicació c és una compactificació Hausdorff si i només si X és un espai de Hausdorff no compacte, però localment compacte. Per a aquest tipus d'espais, hom diu que l'extensió d'Alexandroff és la compactificació d'Alexandroff o la compactificació d'un punt. Els avantatges de la compactificació d'Alexandroff rauen en la seva estructura simple i, sovint, geomètricament significativa, i en el fet que és la mínima compactificació entre totes les possibles; per altra banda, el desavantatge és que només proporciona una compactificació Hausdorff sobre la classe d'espais Hausdorff no compactes i alhora localment compactes, al contrari que la compactificació de Stone-Čech, que existeix per a qualsevol espai de Tychonoff, una classe molt més àmplia d'espais.

Exemple: projecció estereogràfica inversaModifica

 
Projecció estereogràfica

Un exemple geomètric de la compactificació d'Alexandroff ve donat per la projecció estereogràfica inversa. Recodem que la projecció estereogràfica S proporciona un homeomorfisme explícit des de l'esfera unitat menys el pol nord (0,0,1) sobre el pla euclidià. La projecció estereogràfica inversa   és un embedding dens i obert dins d'un espai Hausdorff compacte, que s'obté mitjançant l'addició del punt addicional  . Aplicant la projecció estereogràfica, els cercles latitudinals   s'envien a circumferències planars  . D'aquí, es té que la base d'entorns perforats de   donada pels casquets esfèrics perforats   correspon als complements dels discs planars tancats  . Des d'un punt de vista qualitatiu, una base d'entorns al punt   ve donada pels conjunts  , on K recorre els subconjunts compactes de  . Aquest exemple, encara que és un cas particular, conté els conceptes clau per al cas general.

MotivacióModifica

Sigui   un embedding d'un espai topològic X dintre d'un espai topològic Hausdorff compacte Y, amb imatge densa i un residu compost per un sol punt  . Llavors c(X) és un conjunt obert dins d'un espai Hausdorff compacte, i per tant és localment compacte Hausdorff; d'on la seva imatge homeomorfa X també és localment compacta Hausdorff. Addicionalment, si X fos compacte, llavors c(X) seria tancat a Y, i per tant no seria dens. Així, un espai només pot admetre una compactificació d'Alexandroff si és localment compacte, no compacte, i Hausdorff. Encara més, en una tal compactificació d'Alexandroff, la imatge d'una base d'entorns de x a X proporciona una base d'entorns per de c(x) dins c(X), i –com que un subconjunt d'un espai Hausdorff compacte és compacte si i només si és tancat– els entorns oberts de   han de ser tots conjunts obtinguts per adjunció de   a la imatge per c d'un subconjunt de X amb complement compacte.

L'extensió d'AlexandroffModifica

Sigui X un espai topològic qualsevol, i sigui   qualsevol objecte que no sigui un element de X. Escrivim  , i fixem una topologia a   on els conjunts oberts siguin tots els subconjunts oberts U de X juntament amb tots els subconjunts V que contenen   i tals que   és tancat i compacte (Kelley 1975, p. 150).

Hom diu que la inclusió   és l'extensió d'Alexandroff de X (Willard 1970, 19A).

Hom pot observar les següents propietats:

  • L'aplicació c és contínua i oberta: submergeix X com a subconjunt obert de  .
  • L'espai   és compacte.
  • La imatge c(X) és densa a  , si X no és compacte.
  • L'espai   és Hausdorff si i només si X és Hausdorff i localment compacte.

La compactificació d'Alexandroff (o d'un punt)Modifica

En particular, l'extensió d'Alexandroff   és una compactificació de X si i només si X és Hausdorff, no compacte i localment compacte. En aquest cas, hom l'anomena compactificació d'Alexandroff o compactificació d'un punt de X. Recordem pel que hem vist abans que qualsevol compactificació amb un residu format per un punt és necessàriament (isomorfa a) la compactificació d'Alexandroff.

Sigui X un espai de Tychonoff qualsevol. Amb l'ordre parcial natural definit sobre el conjunt   de classes d'equivalència de compactificacions, qualsevol element mínim és equivalent a l'extensió d'Alexandroff (Engelking 1989, Teorema 3.5.12). Una conseqüència és que un espau no compacte de Tychonoff admet una compactificació mínima si i només si és localment compacte.

Exemples addicionalsModifica

  • La compactificació d'Alexandroff del conjunt d'enters positius és homeomorfa a l'espai K = {0} U {1/n | n és un enter positiu} amb la topologia de l'ordre.
  • La compactificació d'Alexandroff de l'espai euclidià n-dimensioanl Rn és homeomorfa a la n-esfera Sn. Com abans, l'aplicació es pot construir de forma explícita con una projecció estereogràfica inversa n-dimensional.
  • Com que la clausura d'un subconjunt connex és connexa, l'extensió d'Alexandroff d'un espai connex no compacte és connexa. Tot i això, la compactificació d'Alexandroff pot fer que un espai no connex esdevingui connex: per exemple, la compactificació d'Alexandroff de la unió disjunta de   còpies de l'interval (0,1) rosa de   circumferències ((anglès) Bouquet of circles).
  • Hom pot interpretar l'extensió d'Alexandroff com un functor des de la categoria d'espais topològics amb aplicacions contínues pròpies com a morfismes, cap a la categoria els objectes de la qual són aplicacions contínues   i per a la qual els morfismes de   a   són parells d'aplicacions contínues   tals que  . En particular, els espais homeomorfs tenen extensions d'Alexandroff isomorfes.
  • Una successió   en un espai topològic   convergeix cap a un punt   de  , si i només si l'aplicació   donada per   amb   de   i   és contínua. Aquí,   té la topologia discreta.
  • Els espais poliàdics estan definits com a espais topològics que són la imatge contínua de la potència d'una compactificació d'Alexandroff d'un espai Hausdorff discret i localment compacte.
  • L'espai de funcions contínues   sobre un espai Hausdorff localment compacte   és localment compacte, però es pot fer compacte si i només si s'hi inclou el punt   per a tot  .

BibliografiaModifica

Vegeu tambéModifica