Obre el menú principal

Siguin i objectes matemàtics qualsevol, tots dos amb estructura lineal, l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un altre objecte amb estructura aritmètica. Típicament i són dos -mòduls, l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un anell , o dos espais vectorials, igualment l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un cos . Una forma bilineal és una aplicació

del producte cartesià dels objectes i a l'objecte que compleix el requeriment de linealitat a les dues components:


NotacióModifica

Si   és una forma bilineal i   i  , hom sol usar la notació

 

per expressar el valor   de la forma   en la parella  , és a dir,   i, si en el context no hi ha ambigüitat, hom pot prescindir del símbol que nombra la forma   :

 

Formes bilineals degenerades i no degeneradesModifica

Els conjunts

 

són els submòduls nuls (subespais nuls) de la forma bilineal. Si   i   aleshores la forma bilineal es diu no degenerada i degenerada en cas contrari. Si la forma és degenerada i   i   són les respectives projeccions canòniques, la forma bilineal

 

 

és no degenerada.

Formes bilineals simètriques i alternadesModifica

Si   i   és commutatiu, té sentit definir com a forma bilineal simètrica aquella que compleix

 

i com a forma bilineal alternada la que compleix

 

Per a una forma bilineal alternada, si  , tenim

 

que implica

 

En canvi, de l'última igualtat no es pot deduir que  , si no és que la característica de   és diferent de 2: la condició   és, doncs, més restrictiva que la condició  .

Matriu d'una forma bilinealModifica

Si   i   són mòduls lliures finitament generats, o bé, espais vectorials de dimensió finita i   i   en són bases respectives, una forma bilineal   queda determinada pels   valors

 

Si es disposen aquests   valors en una matriu de   files i   columnes,

 

aleshores el càlcul de   és

 

on   és el transposat de  , és a dir, amb les components escrites en una fila, en lloc de en una columna.

En canvi, si la matriu és de   files i   columnes, és a dir, la matriu transposada de la matriu  , el càlcul és

 


ExemplesModifica

L'àrea d'un paral·lelogramModifica

Sigui   l'espai vectorial dels vectors del pla sobre el cos dels nombres reals i sigui   una base d'aquest espai. L'aplicació que fa correspondre a cada parella de vectors l'àrea del paral·lelogram que determinen, mesurada tot prenent l'àrea del paral·lelogram que determinen els vectors de la base   com a unitat de mesura és una forma bilineal  . Com que, a més, un vector qualsevol i ell mateix determinen un paral·lelogram d'àrea zero, es tracta d'una forma bilineal alternada, que no és altra que el determinant de dos vectors de  .

El producte escalar euclidiàModifica

El producte escalar en un espai euclidià és una forma bilineal simètrica. En efecte, si escrivim el producte   en la forma  , pròpia de les formes bilineals, les propietats del producte escalar i tenim en compte la commutativitat de  ,

 

 

 

obtenim

 

 

 

i és clar que es tracta d'una forma bilineal simètrica.

Còniques i quàdriquesModifica

Una quàdrica o superfície quàdrica és una hipersuperfície definida en un espai vectorial n-dimensional pels punts que anul·len un polinomi quadràtic de n variables:

 

L'estudi i la classificació de cada quàdrica se sol fer a partir de l'estudi de la forma bilineal simètrica de matriu

 

obtinguda a partir dels coeficients dels termes de segon grau de l'equació de la quàdrica en estudi.

Mòduls o espais dualsModifica

Si   és un  -mòdul i   és el seu mòdul dual, l'aplicació

 

 

que a la parella   li fa correspondre el valor   de la forma   en l'element   és òbviament una forma bilineal.

Vegeu tambéModifica