U-forma canònica

En matemàtiques, la u-forma canònica és una 1-forma especial definida sobre el fibrat cotangent T* Q d'una varietat Q. També s'anomena u-forma tautològica, u-forma de Liouville, u-forma de Poincaré o potencial simplèctic. La derivada exterior d'aquesta forma defineix una forma simplèctica, amb la qual cosa T* Q incorpora l'estructura d'una varietat simplèctica. La u-forma canònica juga un rol important en la relació entre el formalisme de la mecànica hamiltoniana i la mecànica lagrangiana. Un objecte similar és l'espai vectorial canònic sobre el fibrat tangent. En geometria algebraica i geometria complexa, el terme "canònic" pot crear confusió amb la classe canònica, i s'acostuma a emprar el terme "tautològic".

En coordenades canòniques, la u-forma canònica ve donada per

$\theta =\sum _{i}p_{i}dq^{i}$

Equivalentment, unes coordenades qualssevol sobre l'espai de fases que preservi aquesta estructura per a la u-forma canònica, fins a un diferencial total (forma exacta), poden anomenar-se coordenades canòniques; les transformacions entre sistemes de coordenades canòniques diferents s'anomenen transformacions canòniques.

La forma simplèctica canònica, també coneguda com a dos-forma de Poincaré, ve donada per

$\omega =-d\theta =\sum _{i}dq^{i}\wedge dp_{i}$

Definició independent de les coordenades

També es pot definir la u-forma canònica, de manera més abstracta, com una forma sobre l'espai de fases. Sigui $Q$ una varietat, i sigui $M=T^{*}Q$ el fibrat cotangent o espai de fases. Sigui

$\pi :M\to Q$

la projecció canònica sobre el fibrat, i sigui

$T_{\pi }:TM\to TQ$

l'aplicació tangent induïda. Sigui m un punt de M. Com que M és el fibrat cotangent, podem pensar que m és una aplicació de l'espai tangent a $q=\pi (m)$:

$m:T_{q}Q\to \mathbb {R}$.

És a dir, tenim que m està a la fibra de q. La u-forma canònica $\theta _{m}$ en el punt m es defineix com

$\theta _{m}=m\circ T_{\pi }$.

És una aplicació lineal

$\theta _{m}:T_{m}M\to \mathbb {R}$

i per tant

$\theta :M\to T^{*}M$.

Propietats

La u-forma canònica és l'única forma horitzontal que "cancel·la" un pullback. És a dir, sigui

$\beta :Q\to T^{*}Q$

una 1-forma qualsevol sobre Q, i sigui $\beta ^{*}$ el seu pullback. Aleshores

$\beta ^{*}\theta =\beta$,

o, en termes de coordenades:

$\beta ^{*}\theta =\beta ^{*}(\sum _{i}p_{i}\,dq^{i})=\sum _{i}\beta ^{*}p_{i}\,dq^{i}=\sum _{i}\beta _{i}\,dq^{i}=\beta .$

Per tant, com que el pullback i la derivada exterior són commutatius,

$\beta ^{*}\omega =-\beta ^{*}d\theta =-d(\beta ^{*}\theta )=-d\beta$.

Acció

Si H és un hamiltonià sobre el fibrat cotangent i $X_{H}$ és el seu flux hamiltonià, llavors la corresponent acció A ve donada per

$S=\theta (X_{H})$.

En altres paraules, el flux hamiltonià representa la trajectòria clàssica d'un sistema mecànic que obeeix les equacions de moviment de Hamilton-Jacobi. El flux hamiltonià és la integral del camp vectorial de Hamilton, i per tant hom escriu, emprant la notació tradicional per a variables acció-angle:

$S(E)=\sum _{i}\oint p_{i}\,dq^{i}$

on s'entén que la integral es pren sobre la varietat definida pel fet de deixar constant l'energia: $H=E={\text{constant}}$ .

Espais mètrics

Si una varietat Q té una mètrica riemanniana o pseudo-riemanniana g, llavors es poden reformular les definicions en termes de coordenades generalitzades. Més específicament, si prenem la mètrica com una aplicació

$g:TQ\to T^{*}Q$,

llavors definim

$\Theta =g^{*}\theta$

i

$\Omega =-d\Theta =g^{*}\omega$.

En coordenades generalitzades $(q^{1},\ldots ,q^{n},{\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})$ sobre TQ, es té

$\Theta =\sum _{ij}g_{ij}{\dot {q}}^{i}dq^{j}$

i

$\Omega =\sum _{ij}g_{ij}\;dq^{i}\wedge d{\dot {q}}^{j}+\sum _{ijk}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial q^{k}}}\;{\dot {q}}^{i}\,dq^{j}\wedge dq^{k}$

La mètrica permet definir una esfera de radi unitat a $T^{*}Q$. La u-forma canònica restringida a aquesta esfera forma una estructura de contacte; aquesta estructura de contacte es pot fer servir per generar el flux geodèsic per a aquesta mètrica.

Bibliografia

• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. «secció 3.2». A: Foundations of Mechanics (en anglès). Londres: Benjamin-Cummings, 1978. ISBN 0-8053-0102-X. 

Vegeu també

• Classe fonamental