Formalment, la funció K es defineix com
-
També es pot donar en forma tancada com
-
on ζ'(z) denota la derivada de la funció zeta de Riemann, i ζ(a,z) denota la funció zeta de Hurwitz, i
-
Una altra funció, usant la funció poligamma, és [2]
-
O usant la generalització equilibrada de la funció poligamma:[3]
-
- on A és la constant de Glaisher-Kinkelin.
Més prosaicament, es pot escriure
-
o
-
El 2003, Benoit Cloitre va demostrar que
-
Relació amb la funció G-Barnes
modifica
La funció K està estretament relacionada amb la funció gamma i amb la funció G-Barnes; per als nombres naturals n, tenim
-
També tenim
- [1]
per a tot
Valors particulars
modifica
Els primers valors de la funció són:[4]
K(0) = 1
K(1) = 1
K(2) = 4
K(3) = 108
K(4) = 27.648
K(5) = 86.400.000
K(6) = 4.031.078.400.000
K(7) = 3.319.766.398.771.200.000
K(8) = 55.696.437.941.726.556.979.200.000
K(9) = 21.577.941.222.941.856.209.168.026.828.800.000
K(10) = 215.779.412.229.418.562.091.680.268.288.000.000.000.000.000
El valor de ve donat per
-
on representa la constant de Glaisher-Kinkelin.[1]
- ↑ Per a la funció K, s'aplica
-
on H(n) es l'hiperfactorial d'un nombre natural , que es defineix com
- [1]
Enllaços externs
modifica