Funció aritmètica

Exemple : la funció de recompte de primers representada de l'1 al 60.

En teoria de nombres, una funció aritmètica, aritmètica o teòrica de nombres és per a la majoria dels autors qualsevol funció f (n) el domini de la qual són els nombres enters positius i el rang de la qual és un subconjunt dels nombres complexos. Hardy i Wright inclouen en la seva definició el requisit que una funció aritmètica "expressa alguna propietat aritmètica de n ".

Un exemple de funció aritmètica és la funció divisor el valor de la qual en un nombre enter positiu n és igual al nombre de divisors de n.

Hi ha una classe més gran de funcions teòriques de nombres que no s'ajusten a la definició anterior, per exemple, les funcions de comptatge primers. Aquest article proporciona enllaços a funcions d'ambdues classes.

Les funcions aritmètiques solen ser extremadament irregulars, però algunes d'elles tenen expansions en sèrie en termes de la suma de Ramanujan.

Funcions multiplicatives i additives:

Una funció aritmètica a és:

• completament additiu si a(mn) = a(m) + a(n) per a tots els nombres naturals m i n;
• completament multiplicatiu si a(mn) = a (m) a(n) per a tots els nombres naturals m i n;

Dos nombres enters m i n s'anomenen coprimes si el seu màxim comú divisor és 1, és a dir, si no hi ha cap nombre primer que els divideixi a tots dos.

Aleshores una funció aritmètica a és:

• additiu si a(mn) = a(m) + a(n) per a tots els nombres naturals coprims m i n;
• multiplicativa si a(mn) = a(m) a(n) per a tots els nombres naturals coprims m i n.