Obre el menú principal
«Continuïtat» redirigeix aquí. Vegeu-ne altres significats a «Continuïtat (desambiguació)».

Funció contínua és un terme utilitzat en matemàtiques i, en particular, en topologia.

Contingut

Definició matemàtica per funcions de variables realsModifica

Funció contínua en un puntModifica

Siguin   un interval de  ,   una aplicació de   a  , i   un punt de  .

  1. Si   i   és un punt d'acumulació de  , direm que   és contínua en el punt   si  .
  2. Si   i   no és un punt d'acumulació de  , direm que   és contínua per definició.

La definició anterior també es pot formular en termes de distàncies, diem que   és contínua en el punt   si i només si:

 

És a dir, una funció és contínua quan per qualsevol punt   del seu domini podem trobar un interval tal que la seva imatge estigui continguda en un interval tan petit com vulguem al voltant de la seva imatge  .

Finalment, en termes de successions la funció   és contínua en el punt   si, sigui  

 

Continuïtat i límitsModifica

Si   és contínua en  , llavors  .

Si això és cert únicament per a  , es diu que   és contínua a la dreta de  .

De la mateixa forma, si és contínua per a  ,   és contínua a l'esquerra de  .

Dir que   és contínua en   significa que aquesta aplicació és contínua a la dreta i a l'esquerra d'aquest punt.

Continuïtat en un intervalModifica

Es diu que   és contínua en   si és contínua en tots el punts d'aquest interval.

És a dir:

 
,

que equival a què:

  •   és contínua a  .
  • El límit a la dreta de   quan   val   i el límit a l'esquerra quan   val  .

Evidentment, en la definició el número   depèn de  , ja que si   es fa més petit, pot ser que hàgim de buscar un   més petit. Però en aquest apartat cal aclarir que el número   també depèn del punt  , és a dir, per un mateix valor de  , un valor de   que serveix per algun punt en concret pot no servir per un altre punt. En general, donat un valor de   no existeix un valor de   que serveixi per a tots els punts  , tot i així, quan aquest valor existeix parlem de continuïtat uniforme.

Derivabilitat i continuïtatModifica

Qualsevol funció derivable en un punt o en un interval, és igualment contínua en aquest punt o interval.

El recíproc és fals.

Per exemple, la funció   (valor absolut de   és una funció contínua a  , en canvi, no és derivable en el punt  .

Funcions usualsModifica

Les funcions polinòmiques, exponencials, logarítmiques, hiperbòliques, trigonomètriques són derivables en els intervals en què estan definides, i són, doncs, igualment contínues en aquests intervals.

Teoremes sobre funcions contínuesModifica

Teorema dels compactesModifica

"Si   és contínua en un compacte   és compacte."

Efectivament, per demostrar que   és un compacte necessitem veure que, sigui  , la successió   té alguna successió parcial convergent  .

Com que, per hipòtesi   és un compacte, existeix alguna successió parcial   convergent. Sigui   el límit d'aquesta successió  , per la definició de continuïtat (definició per successions) tenim que  . Però per la definició que hem fet al principi,   resultant així que   (que és una successió parcial de  ) és convergent. I   és un compacte.

Teorema del màxim i el mínimModifica

"Si   és contínua en un compacte   té màxim i mínim."

Efectivament, pel teorema dels compactes si   és contínua en el compacte  ,   és compacte. Com que qualsevol compacte és fitat, existiran un suprem ( ) i un ínfim ( ). Demostrem ara que  . En efecte, podem trobar valors tan a prop de   com vulguem (si no fos així, podríem trobar una fita superior més petita que  , arribant a una contradicció), per tant podem construir una successió   que convergeixi a  . Com que   és un compacte   és tancat i per tant,  . Sent   el màxim del compacte  . 

De manera anàloga podem trobar valors tan a prop de   com vulguem (o arribem a una contradicció), per tant, podem construir una successió  . I com que   és tancat  , sent el mínim d'aquest compacte.

Teorema de BolzanoModifica

"Si   és contínua en un interval tancat  , amb   (és a dir, no nuls i de signe oposat)   on  ."

Efectivament, anomenem  , sigui   el punt central d'aquest interval. Si   el teorema queda demostrat. Si  , aleshores partim l'interval   en els intervals   i  . Com que   i   tenen signes oposats,   tindrà el mateix signe que un dels dos i tindrà signe oposat que l'altre. Anomenem   a l'interval en que   tingui signes oposats en els extrems, i definim   com el punt central de  . De nou repetim el mateix procés, si   hem acabat, si no, definim   Si per algun interval   es compleix que   hem acabat, si no tenim definits infinits intervals en els quals   pren valors oposats en els extrems.

Notem que es compleix sempre que   i la longitud de cada interval és:  .

Construïm la successió  . Sigui   un interval de longitud  , aleshores és clar que   ja que  . Per tant,  tal que   i, en conseqüència  . Per tant, la successió   és una successió de Cauchy i per tant és convergent. Denotem  . Suposem que  , aleshores per continuïtat podem trobar un interval   que compleixi que   en tot l'interval. Però a partir d'algun subíndex   i existeix algun punt de   en que   (recordem que   pren valors de signe oposat en els seus extrems). Igualment, si   per continuïtat podem trobar un interval   que compleixi que  . Però a partir d'algun subíndex   i existeix algun punt de   en que  . Per tant l'única possibilitat és que  . Quedant així demostrat el teorema.

Teorema del valor intermedi de BolzanoModifica

Article principal: Teorema del valor intermedi

"Si   és contínua en un interval tancat  , amb  , i   està entre   i   on  ."

Efectivament si   està entre   i  , aleshores   i   tenen signes oposats. Definim aleshores la funció  , com que   és contínua en l'interval  ,   és contínua en el mateix interval. Hem dit que   i   tenen signes oposats, per tant, pel teorema de Bolzano, existeix un punt   que compleix que  .

Teorema de la continuïtat de la funció inversaModifica

"Si   és contínua i invertible en un interval   és estrictament creixent o decreixent a   i   és contínua a  ."

Efectivament, si   és invertible   ha de ser injectiva. Per tant, si per a dos punts    Suposem que  , aleshores,  , ja que, si  , pel teorema del valor intermedi de Bolzano, existeix algun punt entre   que compleix que  , però això no pot ser perquè   és injectiva. Pel mateix argument no es pot donar el cas que  , ja que existiria algun punt   que compleix que  . Per tant tenim que   està entre   i  .

Considerem ara un punt  , és a dir,  , pel mateix argument que a dalt podem afirmar que   (i, per tant,  ). Per tant, podem afirmar que si  , és a dir,   és estrictament decreixent, si en comptes de suposar al principi que   suposem que   arribem a la conclusió (després de aplicar exactament el mateix raonament) que   és estrictament creixent. Demostrem ara que   és contínua a l'interval  .

Sigui  , hem de demostrar que  .

Notem que, al ser   contínua i estrictament creixent (decreixent) es compleix que    . És a dir, que un punt pertany a l'interval   si i només si la seva imatge pertany a l'interval d'extrems   i  .

Per tant, per a qualsevol   podem trobar un   tal que  

Si  , aleshores  

Quedant demostrat que la funció   és contínua.

Tipus de discontinuïtats de funcions d'una variable realModifica

Discontinuïtat asimptòticaModifica

Una funció f(x) presenta una discontinuïtat asimptòtica en un punt a quan no està definida en aquest punt i el límit de la funció en aquest punt és de tipus infinit. Es pot donar un dels quatre casos diferents:

   (1)           (2)          (3)     i         (4)     i  

La recta x=a s'anomena asímptota vertical.

Exemple:

Discontinuïtat de saltModifica

Una funció f(x) presenta una discontinuïtat de salt en un punt a quan els límits laterals en aquest punt no són iguals:       

Exemple:

Discontinuïtat evitableModifica

Una funció f(x) presenta una discontinuïtat evitable en un punt a quan la funció té límit en aquest punt però no coincideix amb el valor de la funció, bé perquè no està definida, bé perquè és diferent:       

Per tant, la funció f es podria fer contínua només redefinint f(a).

Exemple:

Àlgebra de les funcions contínues i composició de funcions contínuesModifica

Per definició:

  contínua a  .

Dels teoremes sobre els límits resulta:

Àlgebra de les funcions contínuesModifica

Siguin   i   dues funcions contínues en un mateix interval  . Llavors:

  •   (combinació lineal)
  •   (producte)
  •   (quocient)

són funcions contínues a  .

Composició de funcions contínuesModifica

Si   és contínua a   i   és contínua a   llavors   és contínua a  .

Funcions contínues entre espais topològicsModifica

Article principal: Continuïtat (topologia)

La definició esmentada de funció contínua es pot expressar de forma més general a les funcions entre dos espais topològics; donada una funció   entre dos espais topològics, aquesta és contínua si i només si per a tot obert   es dóna que   és un obert de  .

Vegeu tambéModifica

Enllaços externsModifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Funció contínua