Funció homogènia

En matemàtica, una funció homogènia és una funció que presenta un comportament multiplicador d'escala interessant: si tots els arguments es multipliquen per un factor constant, llavors el valor de la funció resulta ser un cert nombre de vegades el factor multiplicador elevat a una potència. Aquesta potència és el grau de la funció homogènia (vegeu #Definició formal).

Definició formalModifica

Suposem una funció la definició de la qual és   entre dos espais vectorials sobre el mateix cos  . Llavors es diu que   és homogènia de grau k si:

 

ExemplesModifica

Les funcions linealsModifica

Qualsevol funció lineal   és homogènia de grau 1, ja que per definició es té:

 

per a tot   i  . De la mateixa manera, qualsevol funció multilineal   és homogènia de grau n, per definició.

 

per a tot   i  . Se segueix que la n-èsima derivada de Fréchet d'una funció   entre dos espais de Banach   i   és homogènia de grau n.

Polinomis homogenisModifica

Els monomis en   variables reals defineixen funcions homogènies  . Per exemple,

 

és homogènia de grau 10, ja que:

 

Un polinomi homogeni és un polinomi fet d'una suma de monomis del mateix grau. Per exemple,

 

és un polinomi homogeni de grau 5.

PropietatsModifica

Suposem que una funció   és infinitament diferenciable. Llavors f és homogènia de grau k si i només si:

 .

  • Suposem que   és diferenciable i homogènia de grau k. Llavors les seves derivades parcials de primer ordre   són funcions homogènies de grau k-1.

Les demostracions d'aquests dos resultats són semblants. Per demostrar el segon, s'escriu   i es pren l'equació

 

Definint   i derivant respecte a  , trobem per la regla de la cadena que:

 

I per tant:

 

I finalment:

 

Aplicació a les EDOsModifica

Si   i   són funcions homogènies del mateix grau, la substitució   converteix l'equació diferencial ordinària (EDO)

 

en l'equació diferencial separable:

 

ReferènciesModifica

BibliografiaModifica

  • Blatter, Christian. «20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.». A: Analysis II (2nd ed.) (en alemany). Springer Verlag, 1979, p. 188. ISBN 3-540-09484-9. 

Enllaços externsModifica