Funció homogènia

En matemàtica, una funció homogènia és una funció que presenta un comportament multiplicador d'escala interessant: si tots els arguments es multipliquen per un factor constant, llavors el valor de la funció resulta ser un cert nombre de vegades el factor multiplicador elevat a una potència. Aquesta potència és el grau de la funció homogènia (vegeu #Definició formal).

Definició formal

Suposem una funció la definició de la qual és $f:V\rightarrow W$ entre dos espais vectorials sobre el mateix cos $F$. Llavors es diu que $f\,$ és homogènia de grau k si:

$f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} ),\qquad \forall \alpha \in F\neq 0,\quad \forall \mathbf {v} \in V$

Exemples

Les funcions lineals

Qualsevol funció lineal $f:V\rightarrow W\,$ és homogènia de grau 1, ja que per definició es té:

$f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )$

per a tot $\alpha \in F$ i $\mathbf {v} \in V\qquad \qquad$. De la mateixa manera, qualsevol funció multilineal $f:V_{1}\times \ldots \times V_{n}\rightarrow W\qquad \qquad$ és homogènia de grau n, per definició.

$f(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n})=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$

per a tot $\alpha \in F$ i $\mathbf {v} _{1}\in V_{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\in V_{n}$. Se segueix que la n-èsima derivada de Fréchet d'una funció $f:X\rightarrow Y$ entre dos espais de Banach $X\,$ i $Y\,$ és homogènia de grau n.

Polinomis homogenis

Els monomis en $n$ variables reals defineixen funcions homogènies $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$. Per exemple,

$f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}\,$

és homogènia de grau 10, ja que:

$(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}\,$

Un polinomi homogeni és un polinomi fet d'una suma de monomis del mateix grau. Per exemple,

$x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}\,$

és un polinomi homogeni de grau 5.

Propietats

• El teorema d'Euler sobre funcions homogènies estableix:

Suposem que una funció $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ és infinitament diferenciable. Llavors f és homogènia de grau k si i només si: $\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )\qquad \qquad$.

• Suposem que $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ és diferenciable i homogènia de grau k. Llavors les seves derivades parcials de primer ordre $\partial f/\partial x_{i}$ són funcions homogènies de grau k-1.

Les demostracions d'aquests dos resultats són semblants. Per demostrar el segon, s'escriu $f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ i es pren l'equació

$f(\alpha \mathbf {y} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {y} )$

Definint $x_{i}=\alpha y_{i}\,$ i derivant respecte a $y_{i}\,$, trobem per la regla de la cadena que:

${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {y} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y_{i}}}(\alpha y_{i})=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {y} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y_{i}}}(y_{i})$

I per tant:

$\alpha {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {y} )=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {y} )$

I finalment:

${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {y} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {y} )$

Aplicació a les EDOs

Si $I\,$ i $J\,$ són funcions homogènies del mateix grau, la substitució $v=y/x$ converteix l'equació diferencial ordinària (EDO)

$I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,$

en l'equació diferencial separable:

$x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v$

Referències

Bibliografia

• Blatter, Christian. «20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.». A: Analysis II (2nd ed.) (en alemany). Springer Verlag, 1979, p. 188. ISBN 3-540-09484-9. 

Enllaços externs

• Funció homogènia a Planet Math (anglès)
• Michiel Hazewinkel (ed.). Homogeneous function. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.