Funció signe

En matemàtiques, la funció signe és la funció que assigna a cada nombre real el seu signe (+1, -1 o 0). És una funció definida a trossos, que obté el signe de qualsevol nombre real que es prengui com entrada. Es representa generalment mitjançant , i no s'ha de confondre amb la funció sinus o la funció sinus hiperbòlic o .

DefinicionsModifica

 
Funció signe representada en un pla cartesià.

La funció signe té com a domini de definició   (el conjuint dels nombres reals) i com a imatge el conjunt  .

 

A partir d'aquí, i per tal d'obtenir la funció signe, trobem entre les definicions possibles les següents.

Definició directaModifica

La definició més usual és per trossos:[1]

 

A partir de la funció valor absolutModifica

Com a derivadaModifica

Sigui   la funció valor absolut sobre   (que recordem està definida sobre   i no pas sobre  ) i sigui   la seva derivada. Aleshores podem definir

 

Com a quocientModifica

Sigui   la funció valor absolut sobre   (que recordem està definida sobre   i no pas sobre  ). Aleshores podem definir[1]

 

A partir de la funció esglaó unitariModifica

Sigui   la funció esglaó de Heaviside o funció esglaó unitari (coneguda en anglès com Heaviside Step) que pren els valors

 

Aleshores, podem definir[1]

 

Amb claudàtors d'IversonModifica

Una definició senzilla de la funció signe a partir de claudàtors d'Iverson és  .

A partir de les funcions de part entera i de valor absolutModifica

Fent servir la funció de part entera de  ,   i la funció valor absolut de  ,  , podem definir

 .

PropietatsModifica

 
La funció signe no és contínua a x = 0.
 
  • Tot nombre real   es pot expressar com a producte del seu valor absolut i la funció signe avaluada en  , és a dir:
 
  • La funció signe és la derivada de la funció valor absolut en  , és a dir
 
 
on   és l'esmentada funcìó delta de Dirac.
  • La funció signe és el límit de la següent successió de funcions
 
on   és la funció tangent hiperbòlica de  . Per tant, podem expressar
 
Òbviament la convergència en aquest últim cas no és uniforme, és només puntual.
  • La funció   tendeix a la funció signe de   quan   tendeix a zero. És a dir:
 .
  • La funicó signe és també el producte de l'arrel quadrada de tot nombre real diferent de zero per l'arrel quadrada del seu invers,[1] és a dir:
 

Generalitzacions a Modifica

 
Generalització de la funció signe a  . A la imatge es pot apreciar que   coincideix amb el punt del cercle unitat del pla complex més proper a  .

La funció signe se sol generalitzar al conjunt dels nombres complexos com a:[1]

 

D'aquesta manera, per tot  , el signe d'un nombre complex   és el punt del cercle unitat del pla complex més proper a  . Per tant, tenim que

 

on   és la funció argument complex.

La tria de   en la generalització pels nombres complexos es basa fonamentalment en dotar la funció de coherència amb la seva versió sobre els nombres reals. De no fer-ho, Rich i Jeffrey proposen interpretar   com un punt no especificat del cercle unitat del pla complex.[3]

Una altra generalització de la funció signe a   és la funció   per   que es defineix com:[4]

 

on   és la part real de   i   és la part imaginària de  .

Amb aquesta definició tenim les següents propietats:

  • Coincidència amb la funció signe sobre els reals, és a dir:
 
  •  .

Distribució signeModifica

En el context de les funcions generalitzades o distribucions, es pot definir la distribució signe   tal que  , per tant també en   (a diferència del que passa amb la funció signe, que pren valor  ). La construcció d'aquesta funció signe generalitzada   permet la construcció d'una àlgebra de funcions generalitzades, però a costa de perdre la commutativitat. En particular, la funció sigma generalitzada   anticommuta amb la funció delta de Dirac:[5]

 .

Una altra contrapartida és que   no pot avaluar-se en   mentre que la funció signe sí, amb  .

ReferènciesModifica

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Weisstein, Eric W., «Funció signe» a MathWorld (en anglès).
  2. Bracewell, Ronald N. «The Sign Function, sgnx.». A: The Fourier Transform and Its Applications (en anglès). 3a edició. Nova York: McGraw-Hill, 1999, pàgs. 61-62. 
  3. Rich, A.; Jeffrey, D. «Function Evaluation on Branch Cuts» (en anglès). SIGSAM Bull., No. 116, 25-27, juny 1996.
  4. Maple V documentation (en anglès), 21 de maig de 1998. 
  5. Shirokov, Yuri Mijailovich «Algebra of one-dimensional generalized functions» (en anglès). TMF, 39, 1979, pàgs. 471–477. DOI: 10.1007/BF01017992.

Vegeu tambéModifica