Funció zeta

Una funció zeta (o funció ζ) és una funció formada per una suma d'infinites potències, o sigui que es pot expressar mitjançant una sèrie de Dirichlet:

$\zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }f(k)^{s}$

Hi ha diverses funcions matemàtiques que reben el nom de funció zeta, anomenades així per la lletra grega ζ:

• Funció zeta d'Airy
• Funció zeta d'Arakawa–Kaneko
• Funció zeta aritmètica
• Funció zeta d'Artin-Mazur
• Funció zeta de Barnes
• Funció zeta de Dedekind
• Funció zeta d'Epstein
• Funció zeta de Goss
• Funció zeta d'Hasse-Weil
• Funció zeta de Hurwitz
• Funció zeta d'Ihara
• Funció zeta d'Igusa
• Funció zeta de Lefschetz
• Funció zeta de Lerch
• Funció zeta local
• Funció zeta de Matsumoto
• Funció zeta de Minakshisundaram-Pleijel
• Funció zeta motívica
• Funció zeta múltiple
• Funció zeta p-àdica
• Funció zeta primer
• Funció zeta de Riemann
• Funció zeta de Ruelle
• Funció zeta de Selberg
• Funció zeta de Shintani
• Funció zeta de Weierstrass
• Funció zeta de Witten

Representació gràfica de la funció zeta de Riemann

Moltes d'aquestes funcions zeta estan íntimament relacionades i involucren una sèrie d'importants relacions entre elles. Hi ha consens entre els matemàtics que segurament existeix una teoria general que permetria unificar la majoria de la teoria de funcions zeta i sèries de Dirichlet; però al dia d'avui no s'ha descobert encara la naturalesa d'aquesta teoria general.

El teorema de Taniyama-Shimura és un dels avenços més recents en la direcció d'una comprensió generalitzada. Conjectures famoses relacionades inclouen la conjectura d'Artin, la conjectura de Birch i Swinnerton-Dyer i la hipòtesi de Riemann.

La teoria de les funcions L hauria de contenir la teoria de les funcions zeta; una funció L és potencialment un tipus «estrany o retorçat» de funció zeta. La classe S de Selberg és un intent de definir les funcions zeta axiomàticament, de manera que sigui possible estudiar les propietats de la classe, i així poder classificar als elements de la classe.

Malgrat que sona semblant, no s'han de confondre la funció zeta (ζ) amb la funció eta (η).

Enllaços externs

• Llista de totes les funcions zeta conegudes Arxivat 2006-09-25 a Wayback Machine. (anglès)