Grup espacial
grup de simetria
En matemàtiques i física, un grup espacial o grup d'espai és el grup de simetria d'una configuració en l'espai, en general en tres dimensions.[1] En tres dimensions, hi ha 219 tipus diferents, o 230 si les còpies quirals es consideren diferents. Els grups d'espai també s'estudien en dimensions diferents a 3 on de vegades es diuen grups Bieberbach, i són grups cocompactes discrets d'isometries d'un espai euclidià orientat.
En cristal·lografia, grups d'espai també es diuen els grups cristal·logràfics o Fedorov, i representen una descripció de la simetria del cristall. Una font definitiva pel que fa als grups d'espai de 3 dimensions és les International Tables for Crystallography (Taules Internacionals per Cristal·lografia, Hahn (2002) ).
Grups espacials en altres dimensions Modifica
Teoremes de Bieberbach Modifica
Classificació en dimensions petites Modifica
Grups magnètics i la inversió del temps Modifica
Taula de grups espacials en 3 dimensions Modifica
# | Sistema cristal·lí (compte) Xarxa de Bravais |
Grup puntual | Grups espacials (símbol curt internacional) | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Intl | Schön. | Notació orbifold | Cox. | Ord. | |||
1 | Triclínic (2) |
1 | C1 | 11 | [ ]+ | 1 | P1 |
2 | 1 | Ci | 1× | [2+,2+] | 2 | P1 | |
3–5 | Monoclínic (13) |
2 | C₂ | 22 | [2]+ | 2 | P2, P21 C2 |
6–9 | m | Cs | *11 | [ ] | 2 | Pm, Pc Cm, Cc | |
10–15 | 2/m | C2h | 2* | [2,2+] | 4 | P2/m, P21/m C2/m, P2/c, P21/c C2/c | |
16–24 | Ortoròmbic (59) |
222 | D₂ | 222 | [2,2]+ | 4 | P222, P2221, P21212, P212121, C2221, C222, F222, I222, I212121 |
25–46 | mm2 | C2v | *22 | [2] | 4 | Pmm2, Pmc21, Pcc2, Pma2, Pca21, Pnc2, Pmn21, Pba2, Pna21, Pnn2 Cmm2, Cmc21, Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2 Fmm2, Fdd2 Imm2, Iba2, Ima2 | |
47–74 | mmm | D2h | *222 | [2,2] | 8 | Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma Cmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce Fmmm, Fddd Immm, Ibam, Ibca, Imma | |
75–80 | Tetragonal (68) |
4 | C₄ | 44 | [4]+ | 4 | P4, P41, P4₂, P4₃, I4, I41 |
81–82 | 4 | S₄ | 2× | [2+,4+] | 4 | P4, I4 | |
83–88 | 4/m | C4h | 4* | [2,4+] | 8 | P4/m, P4₂/m, P4/n, P4₂/n I4/m, I41/a | |
89–98 | 422 | D₄ | 224 | [2,4]+ | 8 | P422, P4212, P4122, P41212, P4₂22, P4₂212, P4₃22, P4₃212 I422, I4122 | |
99–110 | 4mm | C4v | *44 | [4] | 8 | P4mm, P4bm, P4₂cm, P4₂nm, P4cc, P4nc, P4₂mc, P4₂bc I4mm, I4cm, I41md, I41cd | |
111–122 | 42m | D2d | 2*2 | [2+,4] | 8 | P42m, P42c, P421m, P421c, P4m2, P4c2, P4b2, P4n2 I4m2, I4c2, I42m, I42d | |
123–142 | 4/mmm | D4h | *224 | [2,4] | 16 | P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, P4₂/mmc, P4₂/mcm, P4₂/nbc, P4₂/nnm, P4₂/mbc, P4₂/mnm, P4₂/nmc, P4₂/ncm I4/mmm, I4/mcm, I41/amd, I41/acd | |
143–146 | Trigonal (25) |
3 | C₃ | 33 | [3]+ | 3 | P3, P31, P3₂ R3 |
147–148 | 3 | S₆ | 3× | [2+,6+] | 6 | P3, R3 | |
149–155 | 32 | D₃ | 223 | [2,3]+ | 6 | P312, P321, P3112, P3121, P3₂12, P3₂21 R32 | |
156–161 | 3m | C3v | *33 | [3] | 6 | P3m1, P31m, P3c1, P31c R3m, R3c | |
162–167 | 3m | D3d | 2*3 | [2+,6] | 12 | P31m, P31c, P3m1, P3c1 R3m, R3c | |
168–173 | Hexagonal (27) |
6 | C₆ | 66 | [6]+ | 6 | P6, P61, P6₅, P6₂, P6₄, P6₃ |
174 | 6 | C3h | 3* | [2,3+] | 6 | P6 | |
175–176 | 6/m | C6h | 6* | [2,6+] | 12 | P6/m, P6₃/m | |
177–182 | 622 | D₆ | 226 | [2,6]+ | 12 | P622, P6122, P6₅22, P6₂22, P6₄22, P6₃22 | |
183–186 | 6mm | C6v | *66 | [6] | 12 | P6mm, P6cc, P6₃cm, P6₃mc | |
187–190 | 6m2 | D3h | *223 | [2,3] | 12 | P6m2, P6c2, P62m, P62c | |
191–194 | 6/mmm | D6h | *226 | [2,6] | 24 | P6/mmm, P6/mcc, P6₃/mcm, P6₃/mmc | |
195–199 | Cubic (36) |
23 | T | 332 | [3,3]+ | 12 | P23, F23, I23 P213, I213 |
200–206 | m3 | Th | 3*2 | [3+,4] | 24 | Pm3, Pn3, Fm3, Fd3, Im3, Pa3, Ia3 | |
207–214 | 432 | O | 432 | [3,4]+ | 24 | P432, P4₂32 F432, F4132 I432 P4₃32, P4132, I4132 | |
215–220 | 43m | Td | *332 | [3,3] | 24 | P43m, F43m, I43m P43n, F43c, I43d | |
221–230 | m3m | Oh | *432 | [3,4] | 48 | Pm3m, Pn3n, Pm3n, Pn3m Fm3m, Fm3c, Fd3m, Fd3c Im3m, Ia3d |
Referències Modifica
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Grup espacial |
- ↑ Hiller, Howard «Crystallography and cohomology of groups». Amer. Math. Monthly, 93, 1986, pàg. 765–779. DOI: 10.2307/2322930.