Hipotrocoide

Una hipotrocoide , a geometria, és la corba plana que descriu un punt vinculat a una circumferència generatriu que roda dins d'una circumferència directriu, tangencialment, sense lliscament.

La paraula es compon de les arrels gregues singlot hupo (baix) i trokos (roda).

Aquestes corbes van ser estudiades per Albrecht Dürer en 1525, Ole Christensen Rømer el 1674 i Johann Bernoulli el 1725.

hipotrocoide (en traç vermell), circumferència directriu (en traç blau), circumferència generatriu (en traç negre). Paràmetres: R = 5, r = 3, d = 5).
L'el·lipse com a cas particular de hipotrocoide. Paràmetres: R = 10, r = 5 = R/2 , d = 1.

EquacionsModifica

Sent   (on  ) i  , amb circumferència directriu de ràdio a , i circumferència generatriu de ràdio b , i la distància al centre de la generatriu d , l'equació de la hipotrocoide és:

 

on:

 
 

Per identificació de les parts reals i imaginàries s'obté:

 
 

on:

  i  .

Sabent que  ,   i  , obtenim les equacions següents:

 
 

l'angle   varia de 0 a 2π.

Les el·lipses són casos particulars de hipotrocoide, on  .

Les hipocicloides són casos particulars, on   (el punt fix de la generatriu)

Vegeu tambéModifica

Enllaços externsModifica

NotaModifica