Icosàedre truncat

En geometria, l'icosàedre truncat és un dels tretze políedres arquimedians, s'obté truncant els dotze vèrtexs de l'icosàedre.

Icosàedre truncat

Model 3D
Tipus	políedre arquimedià, políedre uniforme, Goldberg polyhedron (en) i triacontadihedron (en)
Forma de les cares	pentàgon regular (12) hexàgon regular (20)
Símbol de Schläfli	t{3,5}
Dual	dodecàedre pentakis
Elements
Vèrtexs	60
Arestes	90
Cares	32
Més informació
MathWorld	TruncatedIcosahedron

Té 32 cares, 12 de les quals són pentagonals i 20 hexagonals, 90 arestes i a cadascun dels seus 60 vèrtex i concorren dues cares hexagonals i una pentagonal.

Àrea i volum

Les fórmules per calcular l'àrea A i el volum V d'un icosàedre truncat tal que les seves arestes tenen longitud a són les següents:

$A=(30{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}})a^{2}$

$V={\begin{matrix}{1 \over 4}\end{matrix}}(125+43{\sqrt {5}})a^{3}$

Esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes

Els radis R, r i $\rho$ de les esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes respectivament són:

${\begin{aligned}&R={\frac {a{\sqrt {58+18{\sqrt {5}}}}}{4}}\\&r={\frac {9a\left(21+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {58+18{\sqrt {5}}}}}{872}}\\&\rho ={\frac {3a\left(1+{\sqrt {5}}\right)}{4}}\\\end{aligned}}$

On a és la longitud de les arestes.

Dualitat

El políedre dual de l'icosàedre truncat és el dodecàedre pentakis.

Desenvolupament pla

Desenvolupament pla del icosàedre truncat

Simetries

El grup de simetria del icosàedre truncat té 120 elements; el grup de les simetries que preserven les orientacions és el grup icosàedric $I\cong A_{5}$. Són els mateixos grups de simetria que per l'icosàedre i pel dodecàedre.

Políedres relacionats

La següent successió de políedres il·lustra una transició des del dodecàedre a l'icosàedre passant per l'icosàedre truncat:

dodecàedre

dodecàedre truncat

icosidodecàedre

icosàedre truncat

icosàedre

Aplicacions

Icosàedre truncat i pilota de futbol

La molècula del Fullerè C₆₀.

Un dels models de pilota de futbol fa servir un icosàedre truncat amb les cares pentagonals de color negre i les hexagonals de color blanc.

L'estructura de la molècula del fullerè $C_{60}$ correspon a un icosàedre truncat amb àtoms de carboni a cada vèrtex i enllaços a cada aresta.

Vegeu també

• Políedre arquimedià
• Políedre de Catalan
• Políedre regular
• Sòlid platònic
• Sòlid de Johnson

Bibliografia

• H. M. Cundy & A. P. Rollett. I modelli matematici. Milà: Feltrinelli, 1974. 

• Dedò, Maria. Forme, simmetria e topologia. Bolonya: Decibel & Zanichelli, 1999. ISBN 88-08-09615-7. 

Enllaços externs

• Políedres I Arxivat 2009-05-09 a Wayback Machine. Pàgina 13
• Políedres arquimedians Arxivat 2008-08-27 a Wayback Machine.
• Paper models of Archimedean solids