Obre el menú principal

Incentre i exincentresModifica

L'incentre d'un triangle és el punt on es tallen les bisectrius dels seus angles. Els punts de tall de les bisectrius exteriors amb les interiors s'anomenen exincentres o excentres del triangle. L'incentre sempre és interior al triangle i els exincentres li són exteriors.

 
Incentre   i exincentres  ,   i  , d'un triangle  

Existència i posició[1]Modifica

IncentreModifica

Sigui el triangle   i considerem les bisectrius dels angles   i  .

  • Vegem primer que aquestes bisectrius es tallen: com que  , tenim que   i, per tant,  . Ara, el cinquè postulat d'Euclides demana que les bisectrius es tallin en un punt  , situat en el semiplà definit pel costat   que conté els angles   i  , és a dir, el semiplà que conté el triangle  . De la mateixa manera, les bisectrius dels angles   i   es tallen en un punt del semiplà definit pel costat   que conté el triangle   i les bisectrius dels angles   i   es tallen en un punt del semiplà definit pel costat   que conté el triangle  .
  • Ara trobem on es tallen: l'angle  , que conté la seva bisectriu, és la intersecció de dos semiplans: el determinat per la recta   que conté el vèrtex   i el determinat per la recta   que conté el vèrtex  . Igualment, l'angle  , que conté la seva bisectriu, és la intersecció de dos semiplans: el determinat per la recta   que conté el vèrtex   i el determinat per la recta   que conté el vèrtex  . En conseqüència, el punt   d'intersecció de les bisectrius és a la intersecció d'aquests dos semiplans i de semiplà del paràgraf anterior, és a dir, a l'interior del triangle  . De la mateixa manera, qualsevol altra parella de bisectrius també es tallen en un punt interior del triangle  .
  • Finalment, el punt  , com que pertany a la bisectriu de l'angle  , equidista dels seus costats   i   i, com que pertany a la bisectriu de l'angle  , equidista dels seus costats   i  . En conseqüència, el punt   equidista dels costats   i   de l'angle   i, per tant, pertany a la bisectriu de l'angle  . Les tres bisectrius del triangle es tallen, doncs, en el punt  , que és l'incentre del triangle  .

ExincentresModifica

Ara considerem les bisectrius exteriors dels angles   i  , és a dir, les bisectrius dels angles   i   i la bisectriu interior de l'angle  .

  • Com que  , tenim que   i, novament segons el cinquè postulat d'Euclides, les bisectrius dels angles   i   es tallen en un punt   del semiplà determinat pel costat   que no conté el triangle  . Igualment, qualsevol altra parella de bisectrius exteriors es tallen en un punt exterior al triangle  .
  • L'angle   determinat pel costat   i la prolongació del costat   és la intersecció del semiplà definit per la recta   que no conté el triangle i el semiplà definit per la recta   que sí conté el triangle. En particular, la bisectriu d'aquest angle és a aquest darrer semiplà. De la mateixa manera, la bisectriu de l'angle   determinat pel costat   i la prolongació del costat   és al semiplà definit per la recta   que sí conté el triangle. Per tant, el punt   d'intersecció de les dues bisectrius és a la intersecció dels dos semiplans, és a dir, a l'interior de l'angle  .
  • També,  , o sigui que   i, com que,  , resulta   i, altra vegada, del cinquè postulat d'Euclides, deduïm que les bisecrius dels angles   i   es tallen en un punt del semiplà determinat pel costat   que no conté el triangle   i a l'interior de l'angle  . Interseccions similars existeixen per a cada parella de bisectriu exterior i de bisectriu interior de vèrtexs diferents del triangle.
  • Però el punt   equidista de la recta   i de la recta  , perquè pertany a la bisectriu de l'angle  . També equidista de la recta   i de la recta  , perquè pertany a la bisectriu de l'angle  . En conseqüència, equidista de les rectes   i  , com que jau a l'interior de l'angle  , és de la bisectriu d'aquest angle  . Les dues bisectrius exteriors corresponents als vèrtexs   i   i la bisectriu interior de l'angle   es tallen en el punt  , a l'exterior del triangle  , però a l'interior de l'angle  . Aquest punt és un exincentre del triangle i, de la mateixa manera, en resulta l'existència i posició dels altres dos exincentres,   i  .
 
Les bisectrius interiors d'un triangle com a línies cevianes.

Les bisectrius com a cevianesModifica

Les bisectrius d'un triangle són línies cevianes. Segons el teorema de la bisectriu hi ha proporcionalitat entre els costats d'un angle d'un triangle i els dos segments en què la bisectriu d'aquest angle divideix el costat oposat. Aleshores,

 

Aleshores,

 

i, segons el teorema de Ceva, les tres bisectrius es tallen en un punt: l'incentre del triangle. Un ús similar dels teoremes de la bisectriu i de Ceva amb les bisectrius exteriors i interiors mostra l'existència dels exincentres.

Coordenades de l'incentreModifica

Les coordenades cartesianes de l'incentre són una mitjana ponderada de les coordenades dels tres vèrtexs. Si els tres vèrtexs són  ,  , i  , els vectors posició respectius són  ,   i  , i els costats oposats del triangle tenen com a longituds  ,  , i  , llavors el vector posició de l'incentre és

 

i l'incentre   és a

 

En efecte,

  • Pel teorema de la bisectriu, aplicat a les bisectrius dels angles   i  ,
 

que dóna

 
  • Pels vectors   i   tenim:
 
  • Pels vectors   i   hi ha nombres reals   i   amb   i  . Aleshores, tot expressant el vector   d'aquestes dues maneres,   i  , tenim:
 
  • Ara, la independència lineal dels vectors   i   demana que
 
 
  • Finalment,
 

Circumferències inscrita i exinscrites a un triangleModifica

 
Circumferència inscrita   i circumferències exinscrites  ,   i   al triangle  

Com que l'incentre   d'un triangle   equidista dels seus costats  ,   i  , els tres segments perpendiculars a cadascun dels costats tirats des de l'incentre són iguals i són radis d'una circumferència   amb centre a l'incentre   i tangent a cadascun dels costats del triangle en els peus d'aquestes perpendiculars. Aquesta circumferència és la circumferència inscrita al triangle (també: cercle inscrit o incircle).

El mateix s'esdevé amb els exincentres, que són els respectius centres de tres circumferències tangents a un costat i les prolongacions dels altres dos, a l'exterior del triangle. Aquestes circumferències són les circumferències exinscrites al triangle (també: cercles exinscrits, exincercles o excercles).

Vegeu tambéModifica

ReferènciesModifica

  1. Puig Adam, 1972, p. 92 i 93.

BibliografiaModifica

  1. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. Geometry Revisited (en anglès). Washington D. C. (USA): Mathematical Association of America, 1972. ISBN ISBN-0-88385-619-0. 
  2. Puig Adam, Pedro. Curso de Geometría Métrica (en espanyol). Madrid: Biblioteca Matemática, 1972. 

Enllaços externsModifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Incentre  
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Incentre