La integral de Gauß és una integral definida, que fou calculada per primera vegada per Gauß . És la base de la distribució normal (o distribució gaussiana ). És un element fonamental de la teoria de la probabilitat .
La integral s'expressa habitualment com
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
d
x
=
π
,
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}~,}
o, de forma equivalent, com
∫
0
∞
e
−
x
2
d
x
=
π
2
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}.}
La demostració d'aquesta integral està basada en el Teorema de Fubini .
El càlcul de la integral
modifica
El càlcul de la integral es pot obtenir a partir del teorema del residu de l'anàlisi complexa , i també es pot calcular amb un procediment analític.
Sigui I el valor d'aquesta integral. Aleshores,
I
2
=
∫
0
∞
e
−
x
2
d
x
∫
0
∞
e
−
y
2
d
y
=
∫
0
∞
∫
0
∞
e
−
(
x
2
+
y
2
)
d
x
d
y
.
{\displaystyle I^{2}=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx\,\int _{0}^{\infty }e^{-y^{2}}dy\,=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy~.}
En la darrera d'aquestes igualtats estem emprant el teorema de Fubini . En la integració emprem dos símbols diferents, x i y , per a les dues variables d'integració perquè cadascuna d'elles hi té un paper independent. Aquesta expressió es pot veure també com el producte de dues funcions simètriques respecte a la recta y=x .
Ara passem a coordenades polars amb els canvi
x
=
ρ
cos
θ
{\displaystyle x=\rho \cos \theta }
y
=
ρ
sin
θ
{\displaystyle y=\rho \sin \theta }
d
x
d
y
=
ρ
d
ρ
d
θ
.
{\displaystyle dxdy=\rho d\rho d\theta .}
I
2
=
∬
R
+
×
[
0
,
π
2
]
e
−
ρ
2
ρ
d
ρ
d
θ
{\displaystyle I^{2}=\iint _{\mathbb {R} ^{+}\times [0,\,{\frac {\pi }{2}}]}\mathrm {e} ^{-\rho ^{2}}\,\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta }
Com abans, les variables
ρ
{\displaystyle \rho }
θ
{\displaystyle \theta }
I
2
=
∫
0
π
2
d
θ
∫
0
∞
e
−
ρ
2
ρ
d
ρ
{\displaystyle I^{2}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\theta \,\int _{0}^{\infty }e^{-\rho ^{2}}\rho d\rho }
La primera integral és immediata. Per calcular la segona cal fer el canvi u en lloc de ρ² i canviar, per tant, ρ dρ per
d
u
2
{\displaystyle {\frac {du}{2}}}
I
2
=
π
2
∫
0
∞
ρ
e
−
ρ
2
d
ρ
=
π
4
∫
0
∞
e
−
u
d
u
=
π
4
{\displaystyle I^{2}={\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\infty }{\rho e^{-\rho ^{2}}d\rho }={\frac {\pi }{4}}\int _{0}^{\infty }{e^{-u}du}={\frac {\pi }{4}}}
Com que l'exponencial és sempre positiva, fent l'arrel quadrada obtenim el resultat de la integral
I
{\displaystyle I}
I
=
∫
0
∞
e
−
x
2
d
x
=
π
2
.
{\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}.}
La integral de les funcions gaussianes
modifica
La integral de qualsevol funció gaussiana es pot reduir a una integral de Gauss.
∫
−
∞
∞
a
e
−
(
x
+
b
)
2
/
c
2
d
x
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x+b)^{2}/c^{2}}\,dx.}
La constant a es pot treure fora de la integral. Aleshores, substituint x per y - b obtenim
a
∫
−
∞
∞
e
−
y
2
/
c
2
d
y
.
{\displaystyle a\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}/c^{2}}\,dy.}
Fent el canvi de y per cz obtenim
a
c
∫
−
∞
∞
e
−
z
2
d
z
{\displaystyle ac\int _{-\infty }^{\infty }e^{-z^{2}}\,dz}
=
a
c
π
.
{\displaystyle =ac{\sqrt {\pi }}.}
![{\displaystyle I^{2}=\iint _{\mathbb {R} ^{+}\times [0,\,{\frac {\pi }{2}}]}\mathrm {e} ^{-\rho ^{2}}\,\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2cae823f8a748ea6535ce5e45eb50dfb8ea03a0)
