Integral el·líptica de segona espècie

Una Integral el·líptica de segona espècie és un cas particular de la integral el·líptica.

Integral el·líptica completa de segona espècie

La integral el·líptica completa de segona espècie E es defineix com:

$E(x)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-x^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-x^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\ dt$

Aquesta integral el·líptica de segona espècie és per tant una funció d'una variable que pot expressar-se en sèrie de Taylor:

$E(x)={\frac {\pi }{2}}\left[1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}x^{2}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {x^{4}}{3}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}{\frac {x^{6}}{5}}-\dots \left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {x^{2n}}{2n-1}}-\dots \right]$

Integral el·líptica incompleta de segona espècie

La integral el·líptica incompleta de segona espècie és una funció de dues variables que generalitza a la integral completa:

$E(x,\varphi )=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-x^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta =\int _{0}^{sense\varphi }{\frac {\sqrt {1-x^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\ dt$

Vegeu també

• Integral el·líptica
• Integral el·líptica de tercera espècie