Llista de políedres uniformes

article de llista de Wikimedia

En geometria, un políedre uniforme és un políedre que té polígons regulars com a cares i és vèrtex-transitiu (transitiu en els seus vèrtexs, isogonal, és a dir, hi ha una isometria que és una aplicació d'un vèrtex sobre qualsevol altre). D'aquí segueix que tots els vèrtexs són congruents, i el políedre té un elevat grau de simetria de reflexió i rotacional.

Els políedres uniformes es poden dividir en formes convexes amb cares de polígons regulars convexos i formes estelades. Les formes estelades tenen o bé cares de polígons estelats o figures de vèrtexs, o ambdós.

La següent llista inclou:

El 1970 es provà que només existeixen 75 políedres uniformes a part de les famílies infinites de prismes i antiprismes. John Skilling descobrí un exemple degenerat que havia passat per alt, relaxant les condicions que només dues cares es poden trobar en una aresta. Aquest és un políedre uniforme degenerat més que no pas un políedre uniforme, ja que alguns parells d'arestes coincideixen.

La llista no inclou:

IndexacióModifica

Quatre sistemes de numeració són d'ús comú pels políedres uniformes, distingits per lletres:

  • [C] Coxeter et al., 1954, mostrà les formes convexes (figures 15 a 132); tres formes prismàtiques (33-35); i les formes no convexes (36-92).
  • [W] Wenninger, 1974, té 119 figures: 1-5 pels sòlids platònics, 6-18 pels sòlids arquimedians, 19-66 per les formes estelades incloent-hi els 4 políedres regulars no convexos, i 67-119 pels políedres uniformes no convexos.
  • [K] Kaleido, 1993: les 80 figures estaven agrupades per simetria: 1-5 com a representants de les famílies infinites de formes prismàtiques amb simetria dièdrica, 6-9 amb simetria tetraèdrica,10-26 amb simetria octaèdrica, 46-80 amb simetria icosaèdrica.
  • [U] Mathematica, 1993, segueix la sèrie Kaleido amb les 5 formes prismàtiques mogudes al final, de tal manera que les formes no prismàtiques esdevenen 1-75.

Llista de políedresModifica

Les formes convexes són llistades per ordre de grau de configuració de vèrtexs des de 3 cares/vèrtex en amunt, i en costats incrementant per cara. Aquesta ordenació permet que es vegin les similituds topològiques.

Políedres uniformes convexosModifica

Nom Imatge Tipus de
vèrtex
Símbol de
Wythoff
Sím. C# W# U# K# Vèrtexs Arestes Cares Cares per tipus
Tetràedre    
3.3.3
3 | 2 3 Td C15 W001 U01 K06 4 6 4 4{3}
Prisma triangular    
3.4.4
2 3 | 2 D3h C33a -- U76a K01a 6 9 5 2{3}
+3{4}
Tetràedre truncat    
3.6.6
2 3 | 3 Td C16 W006 U02 K07 12 18 8 4{3}
+4{6}
Cub truncat    
3.8.8
2 3 | 4 Oh C21 W008 U09 K14 24 36 14 8{3}
+6{8}
Dodecàedre truncat    
3.10.10
2 3 | 5 Ih C29 W010 U26 K31 60 90 32 20{3}
+12{10}
Cub    
4.4.4
3 | 2 4 Oh C18 W003 U06 K11 8 12 6 6{4}
Prisma pentagonal    
4.4.5
2 5 | 2 D5h C33b -- U76b K01b 10 15 7 5{4}
+2{5}
Prisma hexagonal    
4.4.6
2 6 | 2 D6h C33c -- U76c K01c 12 18 8 6{4}
+2{6}
Prisma octogonal    
4.4.8
2 8 | 2 D8h C33e -- U76e K01e 16 24 10 8{4}
+2{8}
Prisma decagonal    
4.4.10
2 10 | 2 D10h C33g -- U76g K01g 20 30 12 10{4}
+2{10}
Prisma dodecagonal    
4.4.12
2 12 | 2 D12h C33i -- U76i K01i 24 36 14 12{4}
+2{12}
Octàedre truncat    
4.6.6
2 4 | 3 Oh C20 W007 U08 K13 24 36 14 6{4}
+8{6}
Cuboctàedre truncat    
4.6.8
2 3 4 | Oh C23 W015 U11 K16 48 72 26 12{4}
+8{6}
+6{8}
Icosidodecàedre truncat    
4.6.10
2 3 5 | Ih C31 W016 U28 K33 120 180 62 30{4}
+20{6}
+12{10}
Dodecàedre    
5.5.5
3 | 2 5 Ih C26 W005 U23 K28 20 30 12 12{5}
Icosàedre truncat    
5.6.6
2 5 | 3 Ih C27 W009 U25 K30 60 90 32 12{5}
+20{6}
Octàedre    
3.3.3.3
4 | 2 3 Oh C17 W002 U05 K10 6 12 8 8{3}
Antiprisma quadrat    
3.3.3.4
| 2 2 4 D4d C34a -- U77a K02a 8 16 10 8{3}
+2{4}
Antiprisma pentagonal    
3.3.3.5
| 2 2 5 D5d C34b -- U77b K02b 10 20 12 10{3}
+2{5}
Antiprisma hexagonal    
3.3.3.6
| 2 2 6 D6d C34c -- U77c K02c 12 24 14 12{3}
+2{6}
Antiprisma octagonal    
3.3.3.8
| 2 2 8 D8d C34e -- U77e K02e 16 32 18 16{3}
+2{8}
Antiprisma decagonal    
3.3.3.10
| 2 2 10 D10d C34g -- U77g K02g 20 40 22 20{3}
+2{10}
Antiprisma dodecagonal    
3.3.3.12
| 2 2 12 D12d C34i -- U77i K02i 24 48 26 24{3}
+2{12}
Cuboctàedre    
3.4.3.4
2 | 3 4 Oh C19 W011 U07 K12 12 24 14 8{3}
+6{4}
Rombicuboctàedre    
3.4.4.4
3 4 | 2 Oh C22 W013 U10 K15 24 48 26 8{3}
+(6+12){4}
Rombicosidodecàedre    
3.4.5.4
3 5 | 2 Ih C30 W014 U27 K32 60 120 62 20{3}
+30{4}
+12{5}
Icosidodecàedre    
3.5.3.5
2 | 3 5 Ih C28 W012 U24 K29 30 60 32 20{3}
+12{5}
Icosàedre    
3.3.3.3.3
5 | 2 3 Ih C25 W004 U22 K27 12 30 20 20{3}
Cub xato    
3.3.3.3.4
| 2 3 4 O C24 W017 U12 K17 24 60 38 (8+24){3}
+6{4}
Dodecàedre xato    
3.3.3.3.5
| 2 3 5 I C32 W018 U29 K34 60 150 92 (20+60){3}
+12{5}

Políedres uniformes estelatsModifica

Nom Imatge Sím
Wyth
Tipus de
vèrtex
Sím. C# W# U# K# Vèrtexs Arestes Cares Chi Orient
able?
Dens. Cares per tipus
Octahemioctàedre   3/2 3 | 3  
6.3/2.6.3
Oh C37 W068 U03 K08 12 24 12 0 Yes   8{3}+4{6}
Tetrahemihexàedre   3/2 3 | 2  
4.3/2.4.3
Td C36 W067 U04 K09 6 12 7 1 No   4{3}+3{4}
Cubohemioctàedre   4/3 4 | 3  
6.4/3.6.4
Oh C51 W078 U15 K20 12 24 10 -2 No   6{4}+4{6}
Gran
dodecàedre
  5/2 | 2 5  
(5.5.5.5.5)/2
Ih C44 W021 U35 K40 12 30 12 -6 Yes 3 12{5}
Gran
icosàedre
  5/2 | 2 3  
(3.3.3.3.3)/2
Ih C69 W041 U53 K58 12 30 20 2 Yes 7 20{3}
Gran
icosidodecàedre
ditrigonal
  3/2 | 3 5  
(5.3.5.3.5.3)/2
Ih C61 W087 U47 K52 20 60 32 -8 Yes 6 20{3}+12{5}
Rombihexàedre
petit
  2 4 (3/2 4/2) |  
4.8.4/3.8
Oh C60 W086 U18 K23 24 48 18 -6 No   12{4}+6{8}
Cubicuboctàedre
petit
  3/2 4 | 4  
8.3/2.8.4
Oh C38 W069 U13 K18 24 48 20 -4 Yes 2 8{3}+6{4}+6{8}
Gran rombicuboctàedre
no convex
  3/2 4 | 2  
4.3/2.4.4
Oh C59 W085 U17 K22 24 48 26 2 Yes 5 8{3}+(6+12){4}
Petit
dodecahemidodecàedre
  5/4 5 | 5  
10.5/4.10.5
Ih C65 W091 U51 K56 30 60 18 -12 No   12{5}+6{10}
Gran
dodecahemidodecàedre
  5/4 5 | 3  
6.5/4.6.5
Ih C81 W102 U65 K70 30 60 22 -8 No   12{5}+10{6}
Petit
icosihemidodecàedre
  3/2 3 | 5  
10.3/2.10.3
Ih C63 W089 U49 K54 30 60 26 -4 No   20{3}+6{10}
Petit
dodecicosàedre
  3 5 (3/2 5/4) |  
10.6.10/9.6/5
Ih C64 W090 U50 K55 60 120 32 -28 No   20{6}+12{10}
Petit
rombidodecàedre
  2 5 (3/2 5/2) |  
10.4.10/9.4/3
Ih C46 W074 U39 K44 60 120 42 -18 No   30{4}+12{10}
Petit
dodecicosidodedaedre
  3/2 5 | 5  
10.3/2.10.5
Ih C42 W072 U33 K38 60 120 44 -16 Yes 2 20{3}+12{5}+12{10}
Rombicosàedre   2 3 (5/4 5/2) |  
6.4.6/5.4/3
Ih C72 W096 U56 K61 60 120 50 -10 No   30{4}+20{6}
Gran
icosicosidodecàedre
  3/2 5 | 3  
6.3/2.6.5
Ih C62 W088 U48 K53 60 120 52 -8 Yes 6 20{3}+12{5}+20{6}
Prisma
pentagràmic
  2 5/2 | 2  
5/2.4.4
D5h C33b -- U78a K03a 10 15 7 2 Yes 2 5{4}+2{5/2}
Prisma
heptagràmic (7/2)
  2 7/2 | 2  
7/2.4.4
D7h C33d -- U78b K03b 14 21 9 2 Yes 2 7{4}+2{7/2}
Prisma
heptagràmic (7/3)
  2 7/3 | 2  
7/3.4.4
D7h C33d -- U78c K03c 14 21 9 2 Yes 3 7{4}+2{7/3}
Prisma
octagràmic
  2 8/3 | 2  
8/3.4.4
D8h C33e -- U78d K03d 16 24 10 2 Yes 3 8{4}+2{8/3}
Antiprisma
pentagràmic
  | 2 2 5/2  
5/2.3.3.3
D5h C34b -- U79a K04a 10 20 12 2 Yes 2 10{3}+2{5/2}
Antiprisma
pentagràmic creuat
  | 2 2 5/3  
5/3.3.3.3
D5d C35a -- U80a K05a 10 20 12 2 Yes 3 10{3}+2{5/2}
Antiprisma
heptagràmic (7/2)
  | 2 2 7/2  
7/2.3.3.3
D7h C34d -- U79b K04b 14 28 16 2 Yes 3 14{3}+2{7/2}
Antiprisma
heptagràmic (7/3)
  | 2 2 7/3  
7/3.3.3.3
D7d C34d -- U79c K04c 14 28 16 2 Yes 3 14{3}+2{7/3}
Antiprisma
heptagràmic creuat
  | 2 2 7/4  
7/4.3.3.3
D7h C35b -- U80b K05b 14 28 16 2 Yes 4 14{3}+2{7/3}
Antiprisma
octagràmic
  | 2 2 8/3  
8/3.3.3.3
D8d C34e -- U79d K04d 16 32 18 2 Yes 3 16{3}+2{8/3}
Antiprisma
octagràmic creuat
  | 2 2 8/5  
8/5.3.3.3
D8d C35c -- U80c K05c 16 32 18 2 Yes 5 16{3}+2{8/3}
Petit
dodecàedre
estelat
  5 | 2 5/2  
(5/2)5
Ih C43 W020 U34 K39 12 30 12 -6 Yes 3 12{5/2}
Gran
dodecàedre
estelat
  3 | 2 5/2  
(5/2)3
Ih C68 W022 U52 K57 20 30 12 2 Yes 7 12{5/2}
Dodecadodecàedre
ditrigonal
  3 | 5/3 5  
(5/3.5)3
Ih C53 W080 U41 K46 20 60 24 -16 Yes 4 12{5}+12{5/2}
Petit
icosidodecàedre
ditrigonal
  3 | 5/2 3  
(5/2.3)3
Ih C39 W070 U30 K35 20 60 32 -8 Yes 2 20{3}+12{5/2}
Hexaedre
truncat
estelat
  2 3 | 4/3  
8/3.8/3.3
Oh C66 W092 U19 K24 24 36 14 2 Yes 7 8{3}+6{8/3}
Gran
rombihexàedre
  2 4/3 (3/2 4/2) |  
4.8/3.4/3.8/5
Oh C82 W103 U21 K26 24 48 18 -6 No   12{4}+6{8/3}
Gran
cubicuboctàedre
  3 4 | 4/3  
8/3.3.8/3.4
Oh C50 W077 U14 K19 24 48 20 -4 Yes 4 8{3}+6{4}+6{8/3}
Gran
dodecahemidodecàedre
  5/35/2 | 5/3  
10/3.5/3.10/3.5/2
Ih C86 W107 U70 K75 30 60 18 -12 No   12{5/2}+6{10/3}
Petit
dodecahemicosàedre
  5/35/2 | 3  
6.5/3.6.5/2
Ih C78 W100 U62 K67 30 60 22 -8 No   12{5/2}+10{6}
Dodecadodecahedre   2 | 5/2 5  
(5/2.5)2
Ih C45 W073 U36 K41 30 60 24 -6 Yes 3 12{5}+12{5/2}
Gran
icosihemidodecàedre
  3/2 3 | 5/3  
10/3.3/2.10/3.3
Ih C85 W106 U71 K76 30 60 26 -4 No   20{3}+6{10/3}
Gran
icosidodecàedre
  2 | 5/2 3  
(5/2.3)2
Ih C70 W094 U54 K59 30 60 32 2 Yes 7 20{3}+12{5/2}
Cuboctàedre
cubitruncat
  4/3 3 4 |  
8/3.6.8
Oh C52 W079 U16 K21 48 72 20 -4 Yes 4 8{6}+6{8}+6{8/3}
Gran cuboctàedre
truncat
  4/3 2 3 |  
8/3.4.6/5
Oh C67 W093 U20 K25 48 72 26 2 Yes 1 12{4}+8{6}+6{8/3}
Gran dodecàedre
truncat
  2 5/2 | 5  
10.10.5/2
Ih C47 W075 U37 K42 60 90 24 -6 Yes 3 12{5/2}+12{10}
Petit dodecàedre
truncat estelat
  2 5 | 5/3  
10/3.10/3.5
Ih C74 W097 U58 K63 60 90 24 -6 Yes 9 12{5}+12{10/3}
Gran dodecàedre
truncat estelat
  2 3 | 5/3  
10/3.10/3.3
Ih C83 W104 U66 K71 60 90 32 2 Yes 13 20{3}+12{10/3}
Gran icosàedre
truncat
  2 5/2 | 3  
6.6.5/2
Ih C71 W095 U55 K60 60 90 32 2 Yes 7 12{5/2}+20{6}
Gran
dodecicosàedre
  3 5/3(3/2 5/2) |  
6.10/3.6/5.10/7
Ih C79 W101 U63 K68 60 120 32 -28 No   20{6}+12{10/3}
Gran
rombidodecàedre
  2 5/3 (3/2 5/4) |  
4.10/3.4/3.10/7
Ih C89 W109 U73 K78 60 120 42 -18 No   30{4}+12{10/3}
Icosidodecadodecàedre   5/3 5 | 3  
6.5/3.6.5
Ih C56 W083 U44 K49 60 120 44 -16 Yes 4 12{5}+12{5/2}+20{6}
Petit dodecicosidodecàedre
ditrigonal
  5/3 3 | 5  
10.5/3.10.3
Ih C55 W082 U43 K48 60 120 44 -16 Yes 4 20{3}+12{;5/2}+12{10}
Gran dodecicosidodecàedre
ditrigonal
  3 5 | 5/3  
10/3.3.10/3.5
Ih C54 W081 U42 K47 60 120 44 -16 Yes 4 20{3}+12{5}+12{10/3}
Gran
dodecicosidodecàedre
  5/2 3 | 5/3  
10/3.5/2.10/3.3
Ih C77 W099 U61 K66 60 120 44 -16 Yes 10 20{3}+12{5/2}+12{10/3}
Petit
icosicosidodecàedre
  5/2 3 | 3  
6.5/2.6.3
Ih C40 W071 U31 K36 60 120 52 -8 Yes 2 20{3}+12{5/2}+20{6}
Rombidodecadodecàedre   5/2 5 | 2  
4.5/2.4.5
Ih C48 W076 U38 K43 60 120 54 -6 Yes 3 30{4}+12{5}+12{5/2}
Gran
rombicosidodecàedre
no convex
  5/3 3 | 2  
4.5/3.4.3
Ih C84 W105 U67 K72 60 120 62 2 Yes 13 20{3}+30{4}+12{5/2}
Dodecadodecàedre
icositruncat
  5/3 3 5 |  
10/3.6.10
Ih C57 W084 U45 K50 120 180 44 -16 Yes 4 20{6}+12{10}+12{10/3}
Dodecadodecàedre
truncat
  5/3 2 5 |  
10/3.4.10/9
Ih C75 W098 U59 K64 120 180 54 -6 Yes 3 30{4}+12{10}+12{10/3}
Gran icosidodecàedre
truncat
  5/3 2 3 |  
10/3.4.6
Ih C87 W108 U68 K73 120 180 62 2 Yes 13 30{4}+20{6}+12{10/3}
Dodecadodecàedre
xato
  | 2 5/2 5  
3.3.5/2.3.5
I C49 W111 U40 K45 60 150 84 -6 Yes 3 60{3}+12{5}+12{5/2}
Dodecadodecàedre
xato invertit
  | 5/3 2 5  
3.5/3.3.3.5
I C76 W114 U60 K65 60 150 84 -6 Yes 9 60{3}+12{5}+12{5/2}
Gran
icosidodecàedre xato
  | 2 5/2 3  
34.5/2
I C73 W116 U57 K62 60 150 92 2 Yes 7 (20+60){3}+12{5/2}
Gran icosidodecàedre
xato invertit
  | 5/3 2 3  
34.5/3
I C88 W113 U69 K74 60 150 92 2 Yes 13 (20+60){3}+12{5/2}
Gran icosidodecàedre
retroxato
  | 3/25/3 2  
(34.5/2)/2
I C90 W117 U74 K79 60 150 92 2 Yes 37 (20+60){3}+12{5/2}
Gran dodecicosidodecàedre
xato
  | 5/35/2 3  
33.5/3.3.5/2
I C80 W115 U64 K69 60 180 104 -16 Yes 10 (20+60){3}+(12+12){5/2}
Icosidodecadodecàedre
xato
  | 5/3 3 5  
33.5.5/3
I C58 W112 U46 K51 60 180 104 -16 Yes 4 (20+60){3}+12{5}+12{5/2}
Petit icosicosidodecàedre
xato
  | 5/2 3 3  
35.5/2
Ih C41 W110 U32 K37 60 180 112 -8 Yes 2 (40+60){3}+12{5/2}
Petit icosicosidodecàedre
retroxato
  | 3/23/25/2  
(35.5/3)/2
Ih C91 W118 U72 K77 60 180 112 -8 Yes 38 (40+60){3}+12{5/2}
Gran
dirombicosidodecàedre
  | 3/25/3 3 5/2  
(4.5/3.4.3.
4.5/2.4.3/2)/2
Ih C92 W119 U75 K80 60 240 124 -56 No   40{3}+60{4}+24{5/2}
Nom Imatge Sím
Wyth
Tipus de
vèrtex
Sím. C# W# U# K# Vèrtexs Arestes Cares Chi Orient
able?
Dens. Cares per tipus
Gran dirombidodecàedre
dixato
*
  | (3/2) 5/3 (3) 5/2  
(5/2.4.3.3.3.4. 5/3.
4.3/2.3/2.3/2.4)/2
Ih -- -- -- -- 60 360 (*) 204 -96 No   120{3}+60{4}+24{5/2}

(*): El gran dirombidodecàedre dixato té 240 de les seves 360 arestes que coincideixen en 120 parells d'arestes amb la mateixa imatge a l'espai. A causa d'aquesta degeneració relativa a les arestes, no sempre és considerat un políedre uniforme. Si aquests 120 parells són considerats com si fossin arestes simples on es troben 4 cares, llavors el nombre d'arestes baixa a 240 i la característica d'Euler esdevé 24.

Llegenda de les columnesModifica

  • Indexat uniforme: U01-U80 (el tetràedre primer, prismes a 76+)
  • Indexat de programari de Kaleido: K01-K80 (Kn = Un-5 per n = 6 a 80) (prismes 1-5, tetraèdre etc. 6+)
  • Models polièdrics de Wenninger: W001-W119
    • 1-18 - 5 regulars convexos i 13 semiregulars convexos
    • 20-22, 41 - 4 regulars no convexos
    • 19-66 48 estelacions/compostos especials (no hi ha no regulars en aquesta llista)
    • 67-109 - 43 uniformes no xatos no convexos
    • 110-119 - 10 uniformes xatos no convexos
  • Xi: característica d'Euler, χ. Les tessel·lacions unifmres en el ple corresponen a una topologia d'anell, amb característica d'Euler de zero.
  • Densitat: la densitat d'un polítop representa el nombre d'enrotllaments d'un políedre al voltant del seu centre. Es deixa en blanc per a políedres no orientables i semipolíedres (políedres amb cares que passen a través del seu centre), pels quals la densitat no queda ben definida.
  • Nota sobre les imatges de figura de vèrtex:
    • Les línies blanques poligonals representen el polígon de "figura de vèrtex". Les cares acolorides s'inclouen a les imatges de figura de vèrtex per ajudar a veure les seves relacions. Algunes de les cares que s'intersequen estan mal dibuixades visualment perquè no s'intersequen bé visualment per poder veure quines porcions es troben a davant.

BibliografiaModifica

Enllaços externsModifica