Mètode de la falsa posició

En anàlisi numèrica, el mètode de la falsa posició (o també regula falsi) és un algorisme iteratiu que permet trobar l'arrel aproximada d'una funció. Es pot pensar com una modificació del mètode de la secant, fent que convergeixi sempre cap a una arrel.

IntroduccióModifica

Mètode recursiuModifica

El de la falsa posició és un mètode recursiu que partint de dos valors inicials va trobant aproximacions cada vegada millors de l'arrel de la funció. És a dir, que es crea una successió de   de manera que

 

on   és l'arrel de la funció.

Fonament de l'algorismeModifica

Una manera de trobar una arrel d'una funció és aplicar el teorema del valor mitjà entre  , d'on obtenim que:

 

Donat que   és un valor desconegut, podem aproximar-lo i en lloc de   obtindrem una segona aproximació de l'arrel que anomenarem  , d'on podrem obtenir una tercera aproximació, i així successivament.

Definició formalModifica

Sigui   una funció contínua tal que  , el teorema de Bolzano ens assegura que existeix com a mínim una arrel de la funció en aquest interval. Tenint en compte aquestes condicions, el mètode de la falsa posició es defineix com:

Sigui   el més gran dels   que compleix que  , llavors trobem el següent element de la sèrie recurrent com:

 

on  .

Així doncs, el mètode de la falsa posició aproxima  .

ExempleModifica

Suposant que es vol resoldre l'equació  . Cal definir  , i trobar dos valors  . Aquests dos valors poden ser  , ja que  . Es fa la primera iteració per trobar la segona aproximació:

 

Donat que  , tenim que  . És a dir, que la següent iteració és:

 

Ara  , per tant  . És a dir, que:

 

Si repetim unes quantes vegades el procés i utilitzem més xifres decimals arribem a que:

 

Vegeu tambéModifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Mètode de la falsa posició