Mètodes de Runge-Kutta

mètode de resolució d'equacions diferencials lineals

En càlcul numèric, els mètodes de Runge–Kutta són una família de mètodes iteratius implícits i explícits per la integració d'equacions diferencials ordinàries.[1] Aquestes tècniques van ser desenvolupades al voltant del 1900 pels matemàtics alemanys C. Runge i M.W. Kutta.

Els mètodes de Runge-Kutta pertanyen al conjunt de tècniques numèriques per resoldre equacions diferencials ordinàries.

DescripcióModifica

Els mètodes de Runge-Kutta (RK) són un conjunt de mètodes iteratius (implícits i explícits) per a l'aproximació de solucions d'EDOs, concretament, del problema de valor inicial.

Sigui

 

una equació diferencial ordinària, amb   on   és un conjunt obert, juntament amb la condició que el valor inicial de ƒ sigui

 

Llavors el mètode RK (d'ordre s) té la següent expressió, en la seva forma més general:

 ,

on h és el pas per la iteració o, cosa que és el mateix, l'increment   entre els successius punts   i  . Els coeficients   són termes d'aproximació intermedis, avaluats en ƒ de manera local

 

amb   coeficients propis de l'esquema numèric elegit, depenent de la regla de quadratura utilitzada. Els esquemes Runge-Kutta poden ser explícits o implícits depenent de les constants   de l'esquema. Si aquesta matriu és triangular inferior amb tots els elements de la diagonal principal iguals a zero; és a dir,   per a  , els esquemes són explícits.

El mètode de Runge-Kutta clàssicModifica

 
Els quatre pendents emprats al mètode RK4

El mètode més conegut de la família de mètodes de Runge-Kutta és l'anomenat habitualment "RK4" o mètode clàssic de Runge-Kutta.

Com en qualsevol mètode de solució d'equacions diferencials ordinàries l'objectiu és trobar una funció   que compleixi:

 

I igual en en altres mètodes numèrics, anem trobant estimacions pel valor de   per successius valors de la variable independent  , en passos de mida  . O sigui, l'objectiu en cada pas és, donat un valor de  , trobar una bona aproximació del valor de   amb  .

La derivada   (que és el pendent de la gràfica de  ) és coneguda a  , perquè sabem el valor de   i   en aquest punt i podem substituir a  , i si el pendent fos constant entre   i   podríem calcular fàcilment  . Ara bé, en general, el pendent no serà constant, i tot i que suposar que és constant podria ser una aproximació útil (seria el mètode d'Euler), millorar l'aproximació tenint en compte la variació del pendent milloraria el resultat.

Per això, el mètode RK4 fa servir successivament quatre aproximacions de la derivada entre   i   (vegeu el gràfic):

  •   és el pendent al principi de l'interval (a  ), com faria el mètode d'Euler.
  • Fent servir el pendent   aproximem el valor de  , o sigui, al centre de l'interval.   és el pendent en aquest punt.
  • Fent servir el pendent   tornem a aproximar el valor de  , que en general ens donarà una aproximació diferent de l'anterior. El pendent en aquest punt és  .
  • Amb el pendent   aproximem el valor de la funció a  , o sigui, al final de l'interval. El pendent en aquest punt és  .

Amb tot això tenim una aproximació a l'inici de l'interval, dues al centre i una al final. La variació del valor de   entre   i   serà la integral del pendent en aquest interval, que en aquest mètode es calcula numèricament amb la regla de Simpson, que pondera els valors al centre i als extrems de l'interval donant un pes de   al centre i   a cada extrem.

 

on[2]

 

i  

Vegeu tambéModifica

ReferènciesModifica

  1. Devries, Paul L.; Hasbun, Javier E. A first course in computational physics. Segona edició. Jones and Bartlett Publishers, 2011, p. 215. 
  2. Press et al. 2007, p. 908; Süli & Mayers 2003, p. 328

BibliografiaModifica

  • Runge, Carl David Tolmé «Über die numerische Auflösung von Differentialgleichungen». Mathematische Annalen, Springer, 46, 2, 1895, pàg. 167-178. DOI: 10.1007/BF01446807.
  • Kutta, Martin «Beitrag zur näherungweisen Integration totaler Differentialgleichungen». Zeitschrift Für Mathematik Und Physik, 1901, pàg. 499.
  • Ascher, Uri M.; Petzold, Linda Ruth. Computer methods for ordinary differential equations and differential-algebraic equations. Primera edició. Philadelphia (USA): SIAM, 1998. ISBN 0898714125. 
  • Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas. Análisis Numérico. Setena edició. Cengage Learning Latin America, 2001. ISBN 9706861343.