Matriu nilpotent

En àlgebra lineal, una matriu nilpotent és una matriu quadrada N tal que

per algun enter positiu k. Hom anomena grau de N el valor k més petit que compleix aquesta propietat.

Més generalment, una transformació nilpotent és una aplicació lineal L d'un espai vectorial tal que Lk = 0 per algun enter positiu k (i, per tant, Lj = 0 per qualsevol jk). Aquests dos conceptes són casos particulars d'un concepte més general de nilpotència vàlid pels elements d'un anell.

ExemplesModifica

La matriu

 

és nilpotent, ja que M2 = 0. Més generalment, qualsevol matriu triangular amb zeros a la diagonal principal és nilpotent. Per exemple, la matriu

 

és nilpotent, amb

 

Encara que els exemples que hem vist tenen un gran nombre d'entrades nul·les, en general no té per què ser així. Per exemple, les matrius

 

si s'eleven al quadrat obtenim la matriu nul·la, tot i que cap d'elles té cap entrada nul·la.

CaracteritzacióModifica

Per qualsevol matriu quadrada N de dimensió n × n a entrades reals (o complexos), les següents afirmacions són equivalents:

  1. N és nilpotent.
  2. El polinomi mínim de N és λk per algun enter positiu kn.
  3. El polinomi característic de N és λn.
  4. L'únic valor propi (complex) de N és 0.
  5. tr(Nk) = 0 per qualsevol k > 0.

L'últim teorema és cert per matrius sobre qualsevol cos de característica 0 o de característica suficientment gran. (cf. Identitats de Newton)

Aquest teorema té diverses conseqüències, entre d'altres:

  • El grau d'una matriu nilpotent de dimensió n × n és sempre menor o igual a n. Per exemple, qualsevol matriu nilpotent 2 × 2 multiplicada per ella mateixa dóna la matriu nul·la.
  • El determinant i la traça d'una matriu nilpotent són sempre zero.
  • L'única matriu nilpotent diagonalitzable és la matriu nul·la.

ClassificacióModifica

Considerem la matriu de decalatge n × n:

 

Aquesta matriu té uns a la diagonal superior i zeros altrament. Com a aplicació lineal, la matriu de decalatge "mou" els components d'un vector un lloc cap a l'esquerra:

 

Aquesta matriu és nilpotent amb grau n, i és la matriu nilpotent "canònica".

Si N és una matriu nilpotent qualsevol, aleshores N és semblant a una matriu diagonal per blocs de la forma

 

on cadascun dels blocs S1S2, ..., Sr és una matriu de decalatge (eventualment de dimensions diferents). Aquest teorema és un cas especial de la forma canònica de Jordan per matrius.

Per exemple, qualsevol matriu nilpotent 2 × 2 no-nul·la és semblant a la matriu

 

És a dir, si N és una matriu nilpotent 2 × 2 no-nul·la, aleshores existeix una base b1b2 tal que Nb1 = 0 i Nb2 = b1.

Aquest teorema de classificació és vàlid per matrius sobre qualsevol cos. (No és necessari que el cos sigui algebraicament tancat.)

Torre de subespaisModifica

Una transformació nilpotent L sobre ℝn determina de forma natural una torre de subespais

 

i una signatura

 

La signatura caracteritza L llevat d'una aplicació lineal invertible. Addicionalment, satisfà les desigualtats

 

Recíprocament, qualsevol seqüència de nombres naturals que satisfan aquestes desigualtats és la signatura d'una transformació nilpotent.

Propietats addicionalsModifica

  • Si N és nilpotent, aleshores I + N és invertible, on I és la matriu identitat de dimensió n × n. La inversa es calcula observant que
 
on només un nombre finit de termes són no-nuls.
  • Si N és nilpotent, llavors
 
on I denota la matriu identitat de dimensió n × n. Recíprocament, si A és una matriu i
 
per tots els valors de t, llavors A és nilpotent.

GeneralitzationsModifica

Un operador lineal T és localment nilpotent si, per tot vector v, existeix un k tal que

 

Per operadors en un espai vectorial de dimensió finita, la nilpotència local és equivalent a la nilpotència.

ReferènciesModifica

  1. R. Sullivan, Products of nilpotent matrices, Linear and Multilinear Algebra, Vol. 56, No. 3

Enllaços externsModifica