Obre el menú principal

Lògica matemàtica

(S'ha redirigit des de: Metamatemàtica)
Per a altres significats, vegeu «Lògica (desambiguació)».

La lògica matemàtica és la disciplina inclosa en la matemàtica que estudia els sistemes formals en relació amb la manera en què aquests codifiquen els conceptes intuïtius de demostració matemàtica i computació com una part dels fonaments de la matemàtica. S'ha format com a resultat d'aplicar, en el terreny de la lògica, els mètodes formals de la matemàtica basats en l'ocupació d'un llenguatge especial de símbols i fórmules. En la lògica matemàtica, el pensament lògic de contingut (processos del judici i de la demostració) s'estudia representant per mitjà de sistemes lògics formals o càlculs. Resulta, doncs, que la lògica matemàtica, pel seu objecte és lògica, i pel seu mètode és matemàtica.

Es pot entendre com la matemàtica de la lògica, ja que comprèn aquelles parts de la lògica que poden ser modelades matemàticament.

Anteriorment la lògica matemàtica es coneixia com a lògica simbòlica i metamatemàtica que ara són termes restringits a determinats aspectes de la teoria de la prova. Aquesta conté generalitzacions de llarg abast, i el desenvolupament de les idees i mètodes de la lògica formal tradicional constitueix precisament l'etapa present d'el desenvolupament de la lògica formal. La lògica matemàtica contemporània inclou en si una sèrie de càlculs lògics que constitueixen una teoria sobre aquests càlculs, sobre les seves premisses, propietats i aplicacions. Al costat de l'estudi de l'estructura formal dels càlculs lògics (Sintaxi lògica), en la lògica matemàtica sorgeix també la necessitat d'examinar les relacions entre els càlculs i les esferes de contingut que serveixen per a les interpretacions i models d'aquestes relacions. En aquesta qüestió es esbossa la problemàtica de la semàntica lògica. La sintaxi lògica i la semàntica s'inclouen en la metalógica, teoria sobre els recursos per a descriure les premisses i les propietats dels càlculs lògics.

Van ser George Boole i Augustus De Morgan, durant el segle XIX, els que van sistematitzar matemàticament la lògica, per això van haver de reformar i completar la lògica tradicional aristotèlica.

La lògica matemàtica inclou la teoria de models i la teoria de la demostració i recursió o altrament computabilitat, branca aquesta compatida amb la ciència informàtica. Gran part de la lògica matemàtica moderna s'ocupa de qüestions metalògiques.

Proposicions i operacions lògiquesModifica

Una proposició o enunciat és una oració que pot ser falsa o veritable però no les dues alhora. La proposició és un element fonamental de la lògica matemàtica.

A continuació es tenen alguns exemples de proposicions vàlides i no vàlides, i s'explica el perquè alguns enunciats no són proposicions. Les proposicions s'indiquen per mitjà d'una lletra minúscula, dos punts i la proposició pròpiament dita. Exemple.

p: La terra és plana.

q: -17 + 38 = 21

r: x> i-9

s: El Morelia serà campió en la present temporada de Futbol.

t: Hola com aquestes?

w: Renta el cotxe per favor.

Els incisos p i q sabem que poden prendre un valor de fals o veritable; per tant són proposicions vàlides. L'incís r també és una proposició valida, tot i que el valor de fals o veritable depèn del valor assignat a les variables x i i en determinat moment. La proposició de l'incís s també aquesta perfectament expressada encara per dir si és falsa o veritable s'hauria d'esperar que acabés la temporada de futbol. No obstant això els enunciats t i w no són vàlids, ja que no poden prendre un valor de fals o veritable, un d'ells és una salutació i l'altre és una ordre.[1]

HistòriaModifica

El descobriment de l'examen formal de la lògica pertany a Aristòtil (segle IV a. N. E.). (Sil·logística). En la seva forma primitiva alguns conceptes inicials de la lògica matemàtica es troben ja en la teoria de l'escola estoica de Mègara (segle III a. N. E.). Però sembla ser que va ser Leibniz qui per primera vegada, va formular la idea de càlcul lògic. De totes maneres, la lògica matemàtica com a disciplina independent només es va constituir a mitjan el segle XIX gràcies als treballs de George Boole. Amb ell s'inicia el desenvolupament de l'anomenada àlgebra de la lògica. Ernst Schröder en les seves lliçons sobre l'àlgebra de la lògica (1890-1895) va resumir i sistematitzar els resultats d'aquest desenvolupament. A finals de segle XIX en l'estudi de la lògica matemàtica s'inicia una nova direcció relacionada amb les investigacions de la matemàtica tendents a fonamentar els seus conceptes i els seus procediments demostratius. A les fonts de la direcció al·ludida, es troben els treballs de Gottlob Frege. Van contribuir en gran manera al seu desenvolupament Bertrand Russell i Alfred Whitehead ( "Principia Mathematica", 1910-1913) i David Hilbert. En aquest període, es creen els sistemes lògics fonamentals, ja clàssics: el càlcul proposicional i el càlcul de predicats. La present etapa de la lògica matemàtica es caracteritza per les investigacions que s'hi realitzen sobre els diferents tipus de càlculs lògics, per l'interès cap als problemes de la semàntica i, en general, de la metalógica, cap a les qüestions de l'aplicació especial, científica i tècnica, de la lògica. Els problemes que planteja la fonamentació de la matemàtica fan que paral·lelament als treballs que es duen a terme en l'esfera de la lògica clàssica s'elabori la lògica constructiva. A l'anàlisi dels fonaments de la lògica estan unides les investigacions referents a la lògica combinatòria. Es crea la teoria de la lògica polivalent. Els intents de resoldre el problema de com formalitzar les investigacions lògiques eleven a la creació de càlculs d'una implicació rigorosa i fort. S'estan establint les bases de la lògica modal. D'altra banda, la lògica matemàtica exerceix una gran influència sobre la pròpia matemàtica moderna, alguns dels aspectes essencials han sorgit d'ella; així ha passat, per exemple, amb les teories dels algoritmes i de les funcions recursives.[2]

AplicacionsModifica

La lògica matemàtica troba aplicació en electrònica (investigació dels relés de contacte i dels esquemes electrònics), en tècnica calculatòria (programació), en cibernètica (teoria dels dispositius automàtics), en neurofisiologia (modelació de xarxes neuronals), i en lingüística (lingüística estructural i semiòtica). La vella lògica formal no coneixia aquesta estreta concatenació de la problemàtica lògica amb la resolució dels problemes científics especials, ni la utilització de la lògica com a instrument de les investigacions científiques concretes.[3]

ReferènciesModifica

  1. Monografias.com, aleidahy. «Lógica Matemática - Monografias.com» (en castellà). [Consulta: 7 desembre 2019].
  2. «Lógica matemática». [Consulta: 7 desembre 2019].
  3. «Lógica matemática». [Consulta: 7 desembre 2019].

Vegeu tambéModifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a:Lògica matemàtica