Mitjana ponderada

La mitjana ponderada d'un conjunt de nombres és el resultat de multiplicar cadascun dels nombres per un valor particular per cadascun d'ells, anomenat el seu pes, obtenint a continuació la suma d'aquests productes, i dividint el resultat per la suma del pesos. El pes depèn de la importància o significació de cadascun dels valors.

Definició

Per una sèrie de dades

$X=\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}$

a la qual corresponen els pesos

$W=\{w_{1},w_{2},...,w_{n}\}$

la mitjana ponderada es calcula com

${\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}$

O bé,

${\bar {x}}={\frac {x_{1}w_{1}+x_{2}w_{2}+x_{3}w_{3}+...+x_{n}w_{n}}{w_{1}+w_{2}+w_{3}+...+w_{n}}}$

Si els pesos són tots iguals, és a dir, $w_{i}=w$ per a $1\leq i\leq n$, llavors la mitjana ponderada coincideix amb la mitjana aritmètica.

Exemple

Un exemple de mitjana ponderada és l'obtenció de les notes d'una oposició en les quals s'assigna una importància diferent (el pes) a cadascuna de les proves que conformen l'examen. Si els exàmens tenen un pes del 30%, del 20% i del 50%, respectivament, amb les notes 6.4, 9.2 i 8.1, llavors:

Notes: $X=\{6.4,9.2,8.1\}\,$

Pesos: $W=\{0.3,0.2,0.5\}\,$

Mitjana ponderada: ${\bar {x}}={\frac {6.4\cdot 0.3+9.2\cdot 0.2+8.1\cdot 0.5}{0.3+0.2+0.5}}=7.81\,$

Pesos normalitzats

Per a cada pes $w_{i}$ de la dada $x_{i}$ s'anomena pes normalitzat a

$w'_{i}={\frac {w_{i}}{\sum _{k=1}^{n}w_{k}}}$

Aleshores, la suma dels pesos normalitzats és 1 i, per tant, la mitjana ponderada (amb els pesos inicials $w_{i}$) és

${\bar {x}}=\sum _{k=1}^{n}x_{i}\cdot w'_{i}$

Vegeu també

• Mitjana aritmètica
• Mitjana geomètrica