Obre el menú principal

Nombre plàstic

(S'ha redirigit des de: Nombre d'argent)

En matemàtiques, el nombre plàstic ρ (també anomenat nombre d'argent, constant de plàstic o mínim nombre de Pisot) és una constant matemàtica que és igual a l'única solució real de l'equació cúbica:

Infotaula nombreNombre plàstic
Tipus constant matemàtica i nombre irracional
Propietats
Valor 1,3247179572447
Altres numeracions
Binari 1.0101001100100000101…
Hexadecimal 1.5320B74ECA44ADAC1788…
Fórmules
Expressió algebraica
 
Modifica les dades a Wikidata

És un nombre irracional, ja que no es pot expressar com a divisió de dos nombres enters. És un nombre algebraic, ja que és arrel d'un polinomi no nul amb coeficients racionals.

Aquest nombre també rep el nom de nombre de plata, que no s'ha de confondre amb el nombre platejat .

ValorModifica

El valor de la constant és:

 [1]

Com a mínim, se saben 10,000,000,000 de dígits decimals.[2] Aquest nombre s'obté de l'arrel:

 

On s'ha utilitzat la fórmula cúbica per resoldre:

 

Amb:

 

Donant les arrels:

 

On:

 
 
 
 

PropietatsModifica

Radical jerarquitzatModifica

El nombre plàstic es pot representar també com un radical cúbic jerarquitzat, cumplint-se la igualtat:

 

ja que es compleix la condició:

 

Mínim nombre de PisotModifica

Un nombre de Pisot és un nombre algebraic real estrictament superior a 1, que té tots els seus elements conjugats amb valor absolut estrictament inferior a 1. En aquest cas, els nombres conjugats al nombre plàstic són imaginaris, i són:

 

amb valor absolut:

  [3]

Noti's que  , ja que el producte de les tres arrels del polinomi mínim és igual a 1.

El nombre plàstic és el més petit de tots els nombres de Pisot.[4]

Altres polinomisModifica

De la igualtat   se'n dedueixen altres igualtats demostrables subsituint   per  . D'entre elles, es poden citar:

 
 

També es pot citar:

 

que converteix  , juntament amb el nombre d'or, en l'únic nombre mòrfic. Entenem nombre mòrfic com aquell nombre real que és solució a la vegada de dues equacions de la forma:

 
 

on   i   són dos nombres naturals no nuls. Aquest resultat va ser demostrat per primer cop el 2001 per Jan Aarts, Robbert Fokkink, Godfried Kruijtzer.[5] Aquestes mateixes equacions permeten expressar certes potències de   com a suma infinita de les potències negatives:

 
 
 

Sèrie de PadovanModifica

La sèrie de Padovan és una sèrie matemàtica de nombre enters definida per:

 

Té una forma semblant a la sèrie de Fibonacci, sent els primers elements de la successió:

  [6]

La funció:

 

convergeix en el nombre plàstic quan   és igual a infinit. Prenent els primers valors de  , tenim   igual a:

 

Els dos últims quocients proporcionen un marc per   de 5 x 10-4

CuriositatsModifica

La constant satisfà l'aproximació:

 

on   és la constant de Gelfond i la diferència és de 7,8 x 10-5.

HistòriaModifica

El nom de nombre plàstic (het plastische getal en el seu neerlandès original) va ser donat a aquest nombre per Dom Hans van der Laan. A diferència del nombre d'or i del nombre platejat, la paraula plàstic no es refereix a la substància, sinó al sentit adjectival de la paraula, referit a allò a què se li pot donar una forma tri-dimensional.

Igual que el nombre d'or, ha estat la base d'un sistema de proporcions que és part d'un mètode general en les arts plàstiques. Quant al nombre plàstic, aquest sistema ha estat introduït per Hans van der Laan (1904-1991), monge benedictí i arquitecte dels Països Baixos. Va ser igualment estudiat per l'enginyer politècnic francès Gérard Cordonnier (1907-1977), que el va anomenar nombre radiant.

BibliografiaModifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Nombre plàstic  
  • Midhat J. Gazalé, Gnomon, 1999 Princeton University Press.

ReferènciesModifica

  1. (successió A060006 a l'OEIS)
  2. http://www.komsta.net/computations
  3. (successió A191909 a l'OEIS)
  4. Llista de nombres de Pisot
  5.  PDF Morphic numbers per Jan Aarts, Robbert Fokkink, Godfried Kruijtzer
  6. (successió A000931 a l'OEIS)