Nombre e

constant matemàtica
No s'ha de confondre amb Constant d'Euler-Mascheroni.

La constant matemàtica e és la base dels logaritmes naturals: és l'únic nombre el logaritme natural del qual és 1. És un nombre irracional i transcendent; les primeres xifres de la seva expressió decimal il·limitada són 2,7182818284590.[1]

Infotaula nombreNombre e
Tipusnombre transcendent, nombre real i nombre irracional Modifica el valor a Wikidata
EpònimLeonhard Euler i John Napier Modifica el valor a Wikidata
Propietats
Valor2,718281828459 Modifica el valor a Wikidata
Altres numeracions
Fórmules
Expressió algebraica Modifica el valor a Wikidata
El gràfic y=1/x, i e és el nombre que fa l'àrea igual a 1.

El nombre e es defineix com el límit de la successió  . Aquest límit existeix, ja que la successió és creixent i limitada per sobre.

 

Aquesta expressió del nombre e apareix en l'estudi de l'interès compost. El nombre e apareix en múltiples camps de les matemàtiques, des de la teoria de la probabilitat a l'anàlisi complexa. És considerat el nombre per excel·lència del càlcul de la mateixa manera que el nombre  ho és de la geometria.

És un nombre present en múltiples camps de la ciència i la tècnica. Intervé, per exemple en el càlcul de la velocitat de buidatge d'un dipòsit d'aigua, en el gir d'un penell enfront d'una ràfega de vent o el moviment del sistema amortidor d'un automòbil.

El nombre e s'anomena a vegades constant d'Euler, en honor del matemàtic suís Leonhard Euler i també constant de Napier, en honor del matemàtic escocès John Napier que va introduir els logaritmes.

El nombre e es pot definir també mitjançant la sèrie infinita

on n! és el factorial de n. Aquesta sèrie convergeix puix que hom té

és a dir, el desenvolupament en sèrie de e és majorat mitjançant una sèrie geomètrica que és convergent perquè té una raó igual a 1/2.

Finalment, es pot considerar e com a l'única solució positiva x de l'equació integral

Es pot demostrar que aquestes definicions són equivalents.

La funció exponencial és important ja que és l'única (a menys de multiplicació per constants) funció que és igual a la seva derivada, i s'usa habitualment per a modelitzar processos de creixement o decreixement.

La fracció contínua de e conté una estructura interessant, com es mostra a continuació:

La següent expressió, la identitat d'Euler, que relaciona les cinc constants més importants en matemàtiques, va ser descoberta per Leonhard Euler:

Aquesta és un cas particular (amb x = 0 i y = π) de la fórmula d'Euler:

vàlida per a tot (i de fet per a tot ).

El valor del nombre e aproximat per truncament als 50 decimals és 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995

AsímptotesModifica

El nombre e surt de manera natural en diferents problemes que involucren les asímptotes. N'és un exemple la fórmula de Stirling que es fa servir per a l'anàlisi asimptòtica de la funció factorial, on els dos nombres e i π es troben involucrats:

 

Una conseqüència particular és:

 .

Implementació en informàticaModifica

Es pot realitzar una aproximació del nombre e amb n termes de la seqüència de Taylor citada. En C++ tenim un codi com el següent:

#include <iostream>
using namespace std;

double aproxima_e(int n) {
    //funció que aproxima el nombre e amb la seqüència de taylor:
    // suma 1/fact(i) des de i=0 fins n
    //no cal fer servir la funció factorial en cada denominador.
    if(n == 0) return 0;
    double facti = 1;  //ini a 1: factorial(0). necessitem que sigui double per evitar errors de sobreeiximent
    double s = 1;
    for(int i = 1; i < n; ++i) {
        facti *= i;        
        s += 1/double(facti);      
    }

    return s;
}

int main() {
    cout.setf(ios::fixed);
    cout.precision(10);

    int n;
    while(cin >> n) {
        cout << "Amb " << n << " terme(s) obtenim " << aproxima_e(n) << endl;
    }
}

ReferènciesModifica

  1. «e». L'Enciclopèdia.cat. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Nombre e