Nombre e

constant matemàtica
No s'ha de confondre amb Constant d'Euler-Mascheroni.

La constant matemàtica e és la base dels logaritmes naturals,[1][2] és l'únic nombre el logaritme natural del qual és 1. És considerat el nombre per excel·lència del càlcul de la mateixa manera que el nombre  ho és de la geometria. El nombre e s'anomena a vegades constant d'Euler, en honor del matemàtic suís Leonhard Euler i també constant de Napier,[3] en honor del matemàtic escocès John Napier que va introduir els logaritmes.

Infotaula nombreNombre e
Tipusnombre transcendent, nombre real i nombre irracional Modifica el valor a Wikidata
EpònimLeonhard Euler i John Napier Modifica el valor a Wikidata
Propietats
Valor2,718281828459 Modifica el valor a Wikidata
Altres numeracions
Fórmules
Expressió algebraica i Modifica el valor a Wikidata
El gràfic y=1/x, i e és el nombre que fa l'àrea igual a 1.

El número e té una importància eminent en matemàtiques[4] al costat de 0, 1, π i i.[5][6] Els cinc apareixen en una formulació de la identitat d'Euler i tenen un paper important i recurrent en les matemàtiques. Igual que la constant π, e és irracional (és a dir, no es pot representar com una proporció de nombres enters) i transcendental (és a dir, no és una arrel de cap polinomi diferent de zero amb coeficients racionals). És un nombre irracional i transcendent; les primeres xifres de la seva expressió decimal il·limitada són 2,7182818284590.[7] És un nombre present en múltiples camps de la ciència i la tècnica. Intervé, per exemple en el càlcul de la velocitat de buidatge d'un dipòsit d'aigua, en el gir d'un penell enfront d'una ràfega de vent o el moviment del sistema amortidor d'un automòbil.

DefinicióModifica

El nombre e es defineix com el límit de la successió  .[3] Aquest límit existeix, ja que la successió és creixent i limitada per sobre.

 

Aquesta expressió del nombre e apareix en l'estudi de l'interès compost. El nombre e apareix en múltiples camps de les matemàtiques, des de la teoria de la probabilitat a l'anàlisi complexa. El seu valor aproximat per truncament als 50 decimals és 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995

El nombre e es pot definir també mitjançant la sèrie infinita

 

on n! és el factorial de n. Aquesta sèrie convergeix puix que hom té

 

és a dir, el desenvolupament en sèrie de e és majorat mitjançant una sèrie geomètrica que és convergent perquè té una raó igual a 1/2.

Finalment, es pot considerar e com a l'única solució positiva x de l'equació integral

 

Es pot demostrar que aquestes definicions són equivalents.

La funció exponencial  és important ja que és l'única (a menys de multiplicació per constants) funció que és igual a la seva derivada, i s'usa habitualment per a modelitzar processos de creixement o decreixement.

La fracció contínua de e conté una estructura interessant, com es mostra a continuació:

 

HistòriaModifica

Les primeres referències a la constant es van publicar el 1618 a la taula d'un apèndix d'un treball sobre logaritmes de John Napier.[8] Tanmateix no contenia la constant en si, sinó simplement una llista de logaritmes calculats a partir de la constant. Se suposa que la taula va ser escrita per William Oughtred. El propi descobriment de la constant s’acredita a Jacob Bernoulli el 1683,[9] que va intentar trobar el valor de la següent expressió (que és igual a e):

 

El primer ús conegut de la constant, representat per la lletra b, fou en correspondència de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens el 1690 i el 1691.[10] Leonhard Euler va introduir la lletra e com a base per als logaritmes naturals, escrivint en una carta a Christian Goldbach el 25 de novembre de 1731.[11] Euler va començar a utilitzar la lletra e per a la constant el 1727 o el 1728, en un document inèdit sobre les forces explosives en canons, mentre que la primera aparició d'e en una publicació va ser a Mechanica, sive motus scientia analytica exposita (1736).

Identitat d'EulerModifica

Article principal: Identitat d'Euler

La següent expressió, la identitat d'Euler, que relaciona les cinc constants més importants en matemàtiques, va ser descoberta per Leonhard Euler:

 

Aquesta és un cas particular (amb x = 0 i y = π) de la fórmula d'Euler:

 

vàlida per a tot   (i de fet per a tot  ).

AsímptotesModifica

El nombre e surt de manera natural en diferents problemes que involucren les asímptotes. N'és un exemple la fórmula de Stirling que es fa servir per a l'anàlisi asimptòtica de la funció factorial, on els dos nombres e i π es troben involucrats:

 

Una conseqüència particular és:

 .

Implementació en informàticaModifica

Es pot realitzar una aproximació del nombre e amb n termes de la seqüència de Taylor citada. En C++ tenim un codi com el següent:

#include <iostream>
using namespace std;

double aproxima_e(int n) {
    //funció que aproxima el nombre e amb la seqüència de taylor:
    // suma 1/fact(i) des de i=0 fins n
    //no cal fer servir la funció factorial en cada denominador.
    if(n == 0) return 0;
    double facti = 1;  //ini a 1: factorial(0). necessitem que sigui double per evitar errors de sobreeiximent
    double s = 1;
    for(int i = 1; i < n; ++i) {
        facti *= i;        
        s += 1/double(facti);      
    }

    return s;
}

int main() {
    cout.setf(ios::fixed);
    cout.precision(10);

    int n;
    while(cin >> n) {
        cout << "Amb " << n << " terme(s) obtenim " << aproxima_e(n) << endl;
    }
}

ReferènciesModifica

  1. Swokowski, Earl William. Calculus with Analytic Geometry. illustrated. Taylor & Francis, 1979, p. 370. ISBN 978-0-87150-268-1.  Extract of page 370
  2. «e - Euler's number».
  3. 3,0 3,1 Weisstein, Eric W. «e» (en anglès). mathworld. [Consulta: 10 agost 2020].
  4. Howard Whitley Eves. An Introduction to the History of Mathematics. Holt, Rinehart & Winston, 1969. ISBN 978-0-03-029558-4. 
  5. Wilson, Robinn. Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics. illustrated. Oxford University Press, 2018, p. (preface). ISBN 9780192514059. 
  6. Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar. Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number. illustrated. Prometheus Books, 2004, p. 68. ISBN 9781591022008. 
  7. «e». L'Enciclopèdia.cat. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
  8. ; Robertson, E F«The number e». MacTutor History of Mathematics.
  9. Boyer, Carl; Merzbach, Uta. A History of Mathematics. 2nd. Wiley, 199 1, p. 419. 
  10. Leibniz, Gottfried Wilhelm. «Sämliche Schriften Und Briefe» (en alemany), 2003.
  11. Remmert, Reinhold. Theory of Complex Functions. Springer-Verlag, 1991, p. 136. ISBN 978-0-387-97195-7. 
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Nombre e