En matemàtica, la Notació de Landau , també anomenada "o minúscula" i "O majúscula", és una notació per a la comparació asimptòtica de funcions, la qual cosa permet establir la cota inferior asimptòtica, la cota superior asimptòtica i la cota ajustada asimptòtica. Anomenada així per Edmund Landau, qui va desenvolupar la teoria.

DefinicióModifica

La notació de Landau es defineix de la següent manera:

Si f, g són funcions complexes definides en un entorn d'un punt  , aleshores

  •   quan   si i només si hi ha un   tal que   per a tot   en un entorn de  .
  •   quan   si i només si per tot   hem de   per a tot   en un entorn de  .

Una versió una mica més restrictiva però més manejable que la definició anterior és la següent:

Siguin  ,   dues funcions definides per   i sigui  . Els símbols

 ,  

signifiquen respectivament que   quan  , i que   està tancat per   prou gran. La mateixa notació és usada quan   tendeix a un límit finit o  , o també quan   tendeix al seu límit a través d'una seqüència discreta de valors. En particular, una expressió és   o   si aquesta expressió tendeix a zero o aquesta fitada respectivament.

Dues funcions   i   definides en un veïnatge d'un punt   (finit o infinit) són cridades asimptòticament iguals si   quan  

Si les fraccions  ,   estan acotades en un veïnatge de   es diu que  ,   són del mateix ordre quan  

PropietatsModifica

Context de les propietats

Siguin   i suposem que   és una funció definida sobre un interval finit o infinit   i és integrable en qualsevol interval   amb   podem escriure

 

Sigui   una successió de nombres i sigui

 

la mateixa notació serà utilitzada per altres lletres. Es tenen les següents propietats:

  1. Suposeu que  ,   estan definides en   i integrables en qualsevol  , que   i que   quan  . Si   quan  , aleshores també s'haurà de
     
  2. Siguin   dues successions de nombres, aquesta última positiva. Si   i  , llavors
     
  3. Suposeu que la sèrie   convergeix, que els   's són positius, i que  . llavors
     
  4. Sigui   una funció positiva, monòtona i finita definida per   i sigui
     
    Llavors
      si   decrementa,   tendeix a un límit finit
      si   s'incrementa,  
  5. Sigui   positiva, finita i monòtona per  . Si es compleix     s'incrementa i   o     s'incrementa i  , llavors
      és asimptòticament igual a  

 

Vegeu tambéModifica

BibliografiaModifica

  • Trigonometric Sèries vol 1 A. Zygmund