Operador nabla en coorrdenades cilíndriques i esfèriques

article de llista de Wikimedia

En càlcul vectorial, l'operador nabla és un operador diferencial vectorial representat amb el símbol nabla ∇. En coordenades cartesianes tridimensionals R3 amb coordenades (x, y, z), l'operador nabla es pot definir com:

En els sistemes de coordenades cilíndriques i esfèriques les expressions esdevenen més complexes i es detallen en la següent llista de fórmules de càlcul vectorial.

NotesModifica

  • Aquest article utilitza la notació estàndard ISO 80000-2, que reemplaça la ISO 31-11, pel sistema de coordenades esfèriques (altres fonts poden haver revertit la definició dels angles θ i φ):
    • L'angle polar es denota amb la lletra grega θ: es tracta de l'angle entre l'eix positiu z i el radial del vector que connecta l'origen amb el punt en qüestió.
    • L'angle azimutal es denota amb la lletra grega φ i és l'angle entre l'eix x positiu i la projecció del vector radial en el pla xy.
  • La funció atan2(x,y) es pot utilitzar en comptes de la funció matemàtica arctan (y/x), atesos el seu domini i imatge. Mentre la clàssica funció arctan té una imatge de (−π/2, +π/2), atan2 es defineix amb una imatge de (−π, π].

Conversions de sistemes de coordenadesModifica

Conversions entre sistemes de coordenades cartesianes, cilíndriques i esfèriques
De
Cartesià Cilíndric Esfèric
A Cartesià N/A    
Cilíndric   N/A  
Esfèric     N/A

Conversions de vectors unitarisModifica

Conversió entre vectors unitaris en sistemes de coordenades cartesianes, cilíndriques i esfèriques en termes de coordenades de destinació
Cartesià Cilíndric Esfèric
Cartesià N/A    
Cilíndric   N/A  
Esfèric     N/A
Conversió entre vectors unitaris en sistemes de coordenades cartesianes, cilíndriques i esfèriques en termes de coordenades de d'origen
Cartesià Cilíndric Esfèric
Cartesià N/A    
Cilíndric   N/A  
Esfèric     N/A

Fórmules amb l'operador nablaModifica

Taula amb l'operador nabla en coordenades cartesianes, cilíndriques i esfèriques
Operació Coordenades cartesianes (x, y, z) Coordenades cilíndriques (ρ, φ, z) Coordenades esfèriques (r, θ, φ), on θ és l'angle polar i φ és l'angle azimutalα
Un camp vectorial A      
Gradient f      
Divergència ∇ ⋅ A      
Rotacional ∇ × A      
Operador laplacià 2f ≡ ∆f      
Vector laplacià 2A ≡ ∆A  

 

 

Derivada materialα[1] (A ⋅ ∇)B      
Tensor de divergència ∇ ⋅ T      
Desplaçament diferencial d      
Normal d'àrea diferencial dS      
Volum diferencial dV      
Aquesta pàgina utilitza   per l'angle polar i   per l'angle azimutal, que és la notació habitual en física. La font que s'utilitza per aquestes fórmules utilitza   per l'azimut i   per l'angle polar, que és la notació habitual en matemàtiques. Per tal d'obternir les fórmules en notació matemàtica, canviï's   i   en les fórmules de la taula.

Normes de càlcul no trivialsModifica

  1.   (Operador laplacià)
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Derivació cartesianaModifica

 
Element infinitesimal en coordenades cartesianes

 

 

Les expressions per   i   s'obtenen de la mateixa manera.

Derivació cilíndricaModifica

 
Element infinitesimal en coordenades cilíndriques


 

 

 

 

 

Derivació esfèricaModifica

 
Element infinitesimal en coordenades esfèriques.

 

 

 

 

 

Vegeu tambéModifica

ReferènciesModifica

  1. Weisstein, Eric W. «Convective Operator». Mathworld. [Consulta: 23 març 2011].