Polinomis d'Appell generalitzats
En matemàtiques, una successió polinòmica té una representació generalitzada d'Appell si la funció generadora per a polinomis adopta una forma determinada:
on la funció generadora o kernel es compon de les sèries
- amb
i
- i tot
i
- amb
Tenint en compte les qüestions anteriors, no és difícil demostrar que és un polinomi de grau .
Els polinomis de Boas-Buck són una classe de polinomis una mica més general.
Casos especials modifica
- Si escollim dona la classe de polinomis de Brenke.
- Si escollim dona lloc a la successió de polinomis de Sheffer, que inclouen els polinomis per diferències generals, com els polinomis de Newton.
- Si escollim la combinació de i dona la successió d'Appell de polinomis.
Representació explícita modifica
Els polinomis d'Appell generalitzats tenen la representació explícita
La constant és
on aquesta suma s'estén per totes les composicions de en parts; és a dir, la suma s'estén sobre tots de tal manera que
Per als polinomis d'Appell, aquesta esdevé la fórmula
Relació de recursió modifica
De manera equivalent, una condició necessària i suficient per a que el kernel es pugui escriure com amb és que
on i té la sèrie de potències
i
Substituint
dona immediatament la relació de recurrència
Per al cas especial dels polinomis de Brenke, s'obté i, per tant, tot això , simplificant significativament la relació de recurrència.
Referències modifica
- Boas, Ralph P.; Buck, R. Creighton. Polynomial Expansions of Analytic Functions, 1964.
- Brenke, William C. «On generating functions of polynomial systems» (en anglès). American Mathematical Monthly, 52(6), 1945, pàg. 297–301. DOI: 10.2307/2305289.
- Huff, W. N. «The type of the polynomials generated by f(xt) φ(t)» (en anglès). Duke Mathematical Journal, 14(4), 1947, pàg. 1091–1104. DOI: 10.1215/S0012-7094-47-01483-X.