Postulat de Bertrand

En matemàtiques, el postulat de Bertrand, anomenat també teorema de Tchebychev, afirma que si és un nombre natural superior o igual a 1, llavors sempre existeix pel capbaix un nombre primer tal que

Tot i que ha estat demostrat, per tant és un teorema, manté el nom original de postulat, és a dir conjectura.

HistòriaModifica

Aquesta afirmació va ser conjecturada per primera vegada el 1845 per Joseph Bertrand que la va verificar ell mateix per a tots els nombres de l'interval  . La conjectura va ser completament demostrada el 1850 per Pafnuti Txebixov, que va utilitzar en la seva demostració la fórmula de Stirling. Ramanujan va donar una demostració més senzilla i Paul Erdős el 1932 va publicar una prova molt senzilla en la qual va utilitzar els coeficients binomials i la funció  , definida per:

 

on   recorre els nombres primers inferiors o iguals a  .

Teorema de SylvesterModifica

El postulat de Bertrand va ser avançat en vista d'aplicacions al grup simètric (el grup de les permutacions). James Joseph Sylvester el va generalitzar amb la proposició següent: el producte de   enters consecutius superiors a   és divisible per un nombre primer més gran que  .

Una conjectura similar, anomenada conjectura de Legendre, i encara no demostrada, afirma l'existència d'un nombre primer   tal que  . < (no + 1)2. Fa referència a la hipòtesi de Riemann.

DemostracióModifica

S'escriurà   el conjunt dels nombres primers i es defineix:

 

Heus ací l'estratègia per a la demostració:

  • Obtenció d'una majorant de  
  • Verificació explícita de la propietat per a  
  • Demostració de la propietat per a  
  • Conclusió.

LemaModifica

Per a tots els enters  :

 
Demostració
  • n = 1:
 
  • n = 2:
 
  (per inducció)

(com que, tret del dos, cap nombre parell és primer, hi ha tants nombres primers entre 1 i n com entre 1 i n-1 )

  •   i n és senar. Sia n = 2m+1 amb m > 0:
 
Cada nombre primer p amb   és un divisor de   el que dóna:
 
Per inducció  , car :
 

Q.E.D.

Ara, ja es pot encarar la demostració del postulat de Bertrand.

Suposant que existeix un contraexemple: un enter n ≥ 2 tal que no existeix cap nombre primer p amb n < p < 2n.

Cas on n < 2048Modifica

Si 2 ≤ n < 2048, llavors un dels nombres primers 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631, 1259 i 2503 (cadascun sent inferior del doble del seu predecessor), que s'anomenaran p, hauria de satisfer n < p < 2n. Ara bé es comprova que no és el cas. Per tant n ≥ 2048.

Cas on n > 2048Modifica

Per la fórmula del binomi de Newton,

 

Com que   és el terme més gran de la suma, es té:

 

Anomenant   el nombre més gran x tal que   és divisor de  .

Com que n!  factors de p s'obté:

 

Com que cada terme   val o bé 0 (quan  ) o bé 1 (quan  ) i com que tots els termes amb   són nuls, s'obté:

 

Per a   es té   .

  no té pas cap factor primer p tal que:

  • 2n < p, ja que 2n és el factor més gran;
  •  , per un desenvolupament trivial de l'afirmació original (hipòtesi que es vol contradir);
  •  , ja que   (ja que  ) que dóna  .

Per tant, factor primer de   no és pas més gran que  .

  posseeix com a màxim un factor de cada nombre primer  . Com que  , el producte de   per a tots els altres nombres primers és com a màxim  . Ja que   és el producte de   per tots els nombres primers p, s'obté:

 

Utilitzant el lemma  :

 

Ja que es té  :

 

I també   (ja que  ):

 

Prenent logaritmes:

 

Substituint 22t per 2n:

 

Això dona t < 6 i la contradicció:

 

ConclusióModifica

Per tant, cap contraexemple per al postulat no és pas possible.

Q.E.D.

Enllaços externsModifica