Prisma (geometria)

políedre amb dues cares iguals i paral·leles (les bases) i cares laterals que són paral·lelograms

Un prisma és un poliedre que té dues cares iguals i paral·leles (les bases) i cert nombre de cares laterals que són paral·lelograms. Un cas especial de prisma és el prisma rectangular, en el qual les arestes que uneixen les dues cares són perpendiculars a la base de les cares. Si aquestes unions no fan angles de 90° es tracta d'un prisma oblic. El terme prisma uniforme pot ser utilitzat per un prisma rectangular amb costats quadrats, ja que aquests estan classificats en el conjunt de poliedres uniformes.

Infotaula de polítopPrisma
Hexagonal Prism BC.svg
Tipusprismatoide i políedre uniforme Modifica el valor a Wikidata
Forma de les carespolígon ()
paral·lelogram () Modifica el valor a Wikidata
Elements
Cares2 Polígons, p Paral·lelograms
Més informació
MathWorldPrism Modifica el valor a Wikidata

Els prismes s'anomenen per la forma de les seves bases. Així, un prisma de base pentagonal s'anomena prisma pentagonal.[1] Els prismes són una subclasse dels prismatoides.

Com molts altres termes geomètrics bàsics, la paraula prisma (del grec πρίσμα (prisma), 'cosa serrada') va ser usada per primer cop en els Elements d'Euclides. Euclides va definir el terme en el llibre XI com "una figura sòlida continguda per dos plans oposats, iguals i paral·lels, mentre que la resta són paral·lelograms". Tanmateix, aquesta definició ha estat criticada per no ser prou específica en relació amb la naturalesa de les bases, cosa que va donar lloc a una certa confusió entre els escriptors de geometria posteriors.[2][3]

Prisma oblicModifica

Un prisma oblic és un prisma en què les arestes que connecten les bases no són perpendiculars a les bases.

Per exemple, un paral·lelepípede és un prisma oblic la vase del qual és un paral·lelogram, o equivalentment un poliedre amb sis cares amb forma de paral·lelogram.

Prisma recte, prisma uniformeModifica

 
Prisma recte

Un prisma recte és un prisma en què els costat que uneixen les bases són perpendiculars a les bases.[4] Això passa si i només si totes les cares laterals són rectangulars.

El dual d'un n-prisma recte és una n-bipiràmide recta.

Un prisma recte (amb costats laterals rectangulars) amb n-àgons regulars com a bases té el símbol de Schläfli { }×{n}. S'apropa al sòlid cilíndric a mesura que n tendeix a infinit; es considera que el cilindre és un prisma circular.

Prisma recteModifica

Casos especialsModifica

Prisma uniformeModifica

VolumModifica

El volum d'un prisma és el producte de l'àrea de la base i la distància entre la base de dues cares o l'alçada (en el cas d'un prisma oblic, cal tenir en compte que això significa la distància perpendicular a la base). El volum és el següent:

 

on B és la superfície de la base i h és l'alçada.

El volum d'un prisma la base del qual és un polígon regular de n costats de longitud s és per tant:

 

Àrea totalModifica

L'àrea d'un prisma és

 

on B és l'àrea de la base,h l'altura, i P el perímetre de la base.

La superfície d'un prisma rectangle la base del qual és una cara n-polígon amb longitud lateral S i d'alçada h és, per tant:

 

Diagrama de SchlegelModifica

Els diagrames de Schlegel d'alguns prismes es mostren en la següent graella:

 
P3
 
P4
 
P5
 
P6
 
P7
 
P8

SimetriaModifica

El grup de simetria d'un prisma recte d'n costats amb base regular és Dnh d'ordre 4n, excepte en el cas del cub, que té el grup de simetria més gran Oh d'ordre 48, que té tres versions de D4h com a subgrups. El grup de rotació és Dn d'ordre 2n, excepte en el cas del cub, que té el grup o de simetria més gran, d'ordre 24, que conté tres versions de D4 com a subgrups.

El grup de simetria Dnh conté inversió si i només si n és parell.

L'hosoedre i diedre també tenen simetria dièdrica, i es pot construir un prisma n-gonal mitjançant la truncació geomètrica d'un hosoedre n-gonal, així com l'escantellació o expansió d'un dihedre n-gonal.

ReferènciesModifica

  1. Wellman, B. Leighton. Geometría descriptiva: compendio de geometría descriptiva para técnicos. Reverte, 1976. 
  2. Thomas Malton. A Royal Road to Geometry: Or, an Easy and Familiar Introduction to the Mathematics. ... By Thomas Malton. .... author, and sold, 1774, p. 360–. 
  3. James Elliot. Key to the Complete Treatise on Practical Geometry and Mensuration: Containing Full Demonstrations of the Rules .... Longman, Brown, Green, and Longmans, 1845, p. 3–. 
  4. William F. Kern, James R. Bland, Solid Mensuration with proofs, 1938, p. 28.

Vegeu tambéModifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Prisma