Progressió geomètrica

Progressió geomètrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2

En matemàtiques una progressió geomètrica és una successió de nombres que compleix que el quocient entre qualsevol dos membres successius de la successió és una constant anomenada raó o factor de progressió de la successió.

A vegades, es pot utilitzar com a concepte abstracte, normalment es fa servir com a contrapunt a progressió aritmètica, indicant la geomètrica un creixement ràpid i l'aritmètica un de no tant ràpid.

Una successió geomètrica és de la forma;

que amb notació vectorial es pot escriure

on és el factor de progressió o raó, és el nombre inicial. El terme general de la successió és

Qualsevol element es pot obtenir a partir de l'element anterior multiplicant-lo per la raó:

ExemplesModifica

Una successió amb i és

Una successió amb i és

Una successió amb i és

Suma de termes consecutius d'una progressió geomètricaModifica

La suma   es pot calcular explícitament: Escrivim

 
Si  , aleshores  . Si   , multipliquem ambdós costats per 1-r i desenvolupem l'expressió de la dreta:
 
 
D'on , aïllant  , obtenim
 

Sèrie geomètricaModifica

Article principal: Sèrie geomètrica

Amb les notacions anteriors considerem la suma   La successió de les sumes   s'anomena sèrie geomètrica.[1] Recordem que es diu que una sèrie convergeix si existeix el límit  , i en aquest cas aquest límit es designa per  .[1]

Quan  , la sèrie geomètrica és convergent i es pot calcular la seva suma: del fet que  , deduïm que  , i aplicant la fórmula que hem obtingut per  :

 
Si  , aleshores la sèrie geomètrica no convergeix, ja que  , que és una condició necessària (però no suficient) per a la convergència d'una sèrie.[1]

La sèrie geomètrica de raó 1/4 d'Arquimedes té suma:

 



ReferènciesModifica

  1. 1,0 1,1 1,2 Perelló, Carles, 1932-. Càlcul infinitesimal : amb mètodes numèrics i aplicacions. Barcelona: Enciclopèdia Catalana, 1994, p. 134. ISBN 84-7739-518-7.