Progressió geomètrica

En matemàtiques una progressió geomètrica és una successió de nombres (anomenats termes) que compleix que el quocient entre qualsevol dos membres successius de la successió és una constant anomenada raó o factor de progressió de la successió.

Progressió geomètrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2

Una successió geomètrica amb raó i primer terme és

Se sol denotar per al terme que ocupa la posició de la successió. Com que qualsevol terme es pot obtenir a partir de l'element anterior multiplicant-lo per la raó,

ExemplesModifica

  • La successió 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... té raó i primer terme .
  • La successió 729, 486, 324, 216, 144, ... té raó i primer terme .
  • La successió 3, -3, 3, -3, ... té raó i primer terme .

Terme generalModifica

Es pot calcular qualsevol terme de la successió a partir del primer terme   i de la raó   mitjançant la següent fórmula anomenda terme general:

 

Suma de termes consecutius d'una progressió geomètricaModifica

La suma dels primers   termes de la successió   és

 

En el cas que  , aleshores  . Si  , aleshores[1]

Per exemple, la suma dels 5 primers termes progressió alternada 2, 6, 18, ... (primer terme 2 i raó 3) és 242:

 

Suma de tots els termes d'una progressió geomètricaModifica

Si el valor absolut de la raó és menor que la unitat,  , aleshores la suma dels infinits termes de la progressió convergeix a un nombre finit:[1]

 

Per exemple, la suma de tots el termes de la progressió 1, 1/5, 1/25, ... és 5/4:

 

MonotoniaModifica

Una progressió geomètrica és monòtona creixent quan cada terme és major o igual que l'anterior ( ), monòtona decreixent quan cada terme és menor o igual que l'anterior ( ), constant quan tots els termes són iguals ( ) i alternada quan cada terme té signe contrari que l'anterior (ocorre quan  ).[2]

Monotonia en funció del primer terme   i de la raó  :[3]

    creixent
  decreixent
    decreixent
  creixent
  constant
  alternada


Vegeu tambéModifica

ReferènciesModifica

  1. 1,0 1,1 W., Weisstein, Eric. «Geometric Series» (en anglès). [Consulta: 15 maig del 2020].
  2. Sapiña, R. «Problemes resolts de progressions geomètriques» (en castellà). Problemas y ecuaciones. ISSN: 2659-9899 [Consulta: 15 maig del 2020].
  3. Llopis, José L. «Successions o progressions geomètriques» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 15 maig del 2020].