Punt de l'infinit

pàgina de desambiguació de Wikimedia

El punt de l'infinit, punt a l'infinit o punt impropi és una entitat topològica i geomètrica que s'introdueix a manera de tancament o frontera infinita del conjunt dels nombres reals. Quan s'afegeix a la recta real, genera una corba tancada (vegeu fig. 1) coneguda com a recta projectiva real, , que no és equivalent a la recta real ampliada, que té dos punts diferents en l'infinit:

Fig. 1: la recta projectiva real (ℝP¹), amb el punt de l'infinit , genera una corba tancada

Topologia TModifica

Perquè el punt de l'infinit representi efectivament l'infinit real es defineix en   la topologia   formada per tots els conjunts:

Els conjunts A són els oberts de   que no contenen el  , mentre que els conjunts B són els que sí el contenen.

Sigui   una successió de nombres reals tals que  . Dins del conjunt dels nombres reals, això vol dir únicament que:

 

Però aquesta mateixa condició implica en   que:

 

És a dir, que en   s'escriu també  . No obstant això, només en   es pot dir que la successió   convergeix, ja que   .

En el pla complexModifica

  Fig. cp1: projecció estereogràfica del pla complex estès sobre l'esfera de Riemann
  Fig. cp2: l'esfera de Riemann pot ser visualitzada com el pla complex embolicat al voltant d'una esfera

El punt de l'infinit també pot afegir-se al pla complex,  , de manera que es transformi en una superfície tancada (vegeu fig. cp1 i fig. cp2), la recta projectiva complexa  , també anomenada esfera de Riemann, una esfera sobre el pla complex i des del pol superior del qual es projecta la resta de punts de l'esfera sobre el pla complex D'aquesta manera, s'estableix una bijectivitat en la qual a cada punt de l'esfera en correspon un del pla complex. L'homòleg del punt des del qual projectem estereogràficament es converteix en el punt de l'infinit.

Rectes paral·leles en ℝ²Modifica

Igual que dues rectes assecants comparteixen un punt, dues rectes paral·leles comparteixen una direcció, per la qual cosa aquestes direccions també són conegudes com a punts impropis d'aquestes rectes en les quals es troben. Per exemple, en   no és possible determinar amb exactitud la posició del punt de l'infinit mitjançant unes coordenades absolutes  . Per aconseguir-ho, s'acudeix a les coordenades homogènies  , en què   i   representen la direcció del vector director de la recta. Les anteriors coordenades absolutes   venen donades per:

 

El punt   podria representar-se, per exemple, com   o com  . La representació del punt de l'infinit s'obté igualant  , així:

 

El punt de l'infinit de l'eix OX seria el  , el  , etc.

Vegeu tambéModifica