Punt de l'infinit

pàgina de desambiguació de Wikimedia

El punt de l'infinit, punt a l'infinit o punt impropi és una entitat topològica i geomètrica que s'introdueix a manera de tancament o frontera infinita del conjunt dels nombres reals. Quan s'afegeix a la recta real, genera una corba tancada (vegeu fig. 1) coneguda com a recta projectiva real, , que no és equivalent a la recta real ampliada, que té dos punts diferents en l'infinit:

Fig. 1: la recta projectiva real (ℝP1), amb el punt de l'infinit , genera una corba tancada

Topologia TModifica

Perquè el punt de l'infinit representi efectivament l'infinit real es defineix en   la topologia   formada per tots els conjunts:

Els conjunts A són els oberts de   que no contenen el  , mentre que els conjunts B són els que sí el contenen.

Sigui   una successió de nombres reals tals que  . Dins del conjunt dels nombres reals, això vol dir únicament que:

 

Però aquesta mateixa condició implica en   que:

 

És a dir, que en   s'escriu també  . No obstant això, només en   es pot dir que la successió   convergeix, ja que   .

En el pla complexModifica

  Fig. cp1: projecció estereogràfica del pla complex estès sobre l'esfera de Riemann
  Fig. cp2: l'esfera de Riemann pot ser visualitzada com el pla complex embolicat al voltant d'una esfera

El punt de l'infinit també pot afegir-se al pla complex,  , de manera que es transformi en una superfície tancada (vegeu fig. cp1 i fig. cp2), la recta projectiva complexa  , també anomenada esfera de Riemann, una esfera sobre el pla complex i des del pol superior del qual es projecta la resta de punts de l'esfera sobre el pla complex D'aquesta manera, s'estableix una bijectivitat en la qual a cada punt de l'esfera en correspon un del pla complex. L'homòleg del punt des del qual projectem estereogràficament es converteix en el punt de l'infinit.

Rectes paral·leles en ℝ2Modifica

Igual que dues rectes assecants comparteixen un punt, dues rectes paral·leles comparteixen una direcció, per la qual cosa aquestes direccions també són conegudes com a punts impropis d'aquestes rectes en les quals es troben. Per exemple, en   no és possible determinar amb exactitud la posició del punt de l'infinit mitjançant unes coordenades absolutes  . Per aconseguir-ho, s'acudeix a les coordenades homogènies  , en què   i   representen la direcció del vector director de la recta. Les anteriors coordenades absolutes   vénen donades per:

 

El punt   podria representar-se, per exemple, com   o com  . La representació del punt de l'infinit s'obté igualant  , així:

 

El punt de l'infinit de l'eix OX seria el  , el  , etc.

Vegeu tambéModifica