En matemàtiques, una quàdrica o superfície quàdrica és una hipersuperfície definida en un espai vectorial n-dimensional, pels punts que anul·len un polinomi quadràtic. Si les coordenades d'aquest espai són, l'equació de qualsevol quàdrica en aquest espai serà: , en què no tots els valors de són iguals a . En general, els coeficients d'aquesta equació seran valors de qualsevol cos, sobre el qual s'ha definit l'espai vectorial. Malgrat això, a partir d'ara, només considerarem quàdriques sobre el cos .

CòniquesModifica

En el cas concret que  , les quàdriques resultants prenen el nom de còniques, i l'anterior equació pren la forma:  . El nom de còniques prové del fet que es pot demostrar que qualsevol cònica és la intersecció d'un cert con per un determinat pla. L'equació anterior es pot escriure de la forma matricial següent:

 

En què:  

 

Segons la forma canònica que adopti la matriu , trobem les diferents solucions que tenen les còniques (  són valors reals, diferents de  ):

  el·lipse imaginària
  el·lipse real
  dues rectes imaginàries no paral·leles
  hipèrbola
  dues rectes reals no paral·leles
  paràbola
  dues rectes imaginàries paral·leles
  dues rectes reals paral·leles
  dues rectes coincidents
  una recta real

També existeix la possibilitat d'un conjunt buit i la de tot el pla.

QuàdriquesModifica

Més amunt, hi ha la definició general de quàdrica. Però, normalment, s'entén per quàdrica el cas concret en què  . En aquest cas, la matriu  , serà: de la forma: Si

   

l'equació de la quàdrica serà també:  

Si es classifiquen les seves formes canòniques, es troba la llista següent:

  el·lipsoide imaginari  
  el·lipsoide real
  con imaginari
  hiperboloide d'un full
  hiperboloide de dos fulls
  con real
  paraboloide el·líptic  
  superfície cilíndrica imaginària
  superfície cilíndrica el·líptica
  dos plans imaginaris no paral·lels
  paraboloide hiperbòlic  
  superfície cilíndrica hiperbòlica
  dos plans reals no paral·lels
  superfície cilíndrica parabòlica
  dos plans imaginaris paral·lels
  dos plans reals paral·lels
  dos plans reals coincidents
  un pla únic real

També existeix la possibilitat d'un conjunt buit i la de tot l'espai.


A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Quàdrica