En càlcul infinitesimal, la regla de la cadena és una fórmula per a calcular la derivada de la composició de dues funcions.

De forma intuïtiva, si una variable, y, depèn d'una segona variable, u, i aquesta alhora depèn d'una tercera variable, x, llavors la velocitat de canvi de y respecte de x es pot calcular com la velocitat de canvi de y respecte de u multiplicada per la velocitat de canvi de u respecte de x.

Plantejament informalModifica

La regla de la cadena diu que, si es compleixen les condicions adequades,

 

Això de forma resumida s'escriu  .

De forma alternativa, emprant la notació de Leibniz,

 

La contrapartida en càlcul integral de la regla de la cadena és la regla de substitució.

TeoremaModifica

La regla de la cadena d'una variable es pot definir de forma més precisa tal com segueix.[1][2] Sia f una funció real sobre (a,b) que és diferenciable a c ∈ (a,b); i g una funció real definida sobre un interval I que conté el rang de fi f(c) com a un punt interior. Si g és derivable a f(c), llavors

  •   és derivable a x=c, i
  •  

ExemplesModifica

Exemple IModifica

Suposant els cas on, hom està pujant a un cim a una velocitat de 0.5 kilòmetres per hora. La temperatura és més baixa a alçades més grans; Suposant que el ritme a què baixa la temperatura és de 6 °C per kilòmetre. Si es multiplica 6 °C per kilòmetre per 0.5 kilòmetres per hora, s'obté 3 °C per hora. Aquest càlcul és una aplicació típica de la regla de la cadena.

Exemple IIModifica

Considerant  . Es té   on   i   Així doncs,

       
 

Per a calcular la derivada de la funció trigonomètrica

 

Es pot escriure   amb   i  .

La regla de la cadena dona

 

Donat que  i  .

Exemple IIIModifica

Deriveu  , etc.

 
 
 

Regla de la cadena per a diverses variablesModifica

La regla de la cadena també funciona per a funcions de més d'una variable. Si les funcions   on   i  , i   i   són derivables respecte de  , llavors

 

Suposant que cada funció de   és una funció de dues variables tal que   and  , i suposant que totes aquestes funcions siguin derivables. Llavors la regla de la cadena adopta la següent forma:

 


 

Si es considera   com una funció vectorial, es pot emprar la notació vectorial per a escriure l'equivalent de l'anterior escrivint el producte escalar del gradient de f per la derivada parcial de  :

 

De forma més general, per a funcions vectorials de diverses variables, la regla de la cadena diu que el jacobià de la funció compsició és el producte de les matrius Jacobianes de les dues funcions:

 

Demostració de la regla de la cadenaModifica

Sian f i g funcions i sia x un nombre tal que f és derivable al punt g(x) i g és derivable al punt x. Llavors per la definició de derivada,

  on   quan  

De forma similar,

  on   quan  

Ara

   
 

on  . S'observa que     i  , Així  . Per tant

 

Demostració alternativaModifica

Tenim una funció  . Per la definició de derivada tenim que:

 

Multiplicant a dalt i a baix per   obtenim:

 

Aplicant la definició de derivada un altre cop, tenim que:

 

Generalització de la regla de la cadenaModifica

La regla de la cadena és una propietat fonamental de totes les definicions de derivada i per tant és vàlida en contextos molt més generals. Per exemple, si E, F i G són espai de Banach (els quals inclouen l’Espai euclidià) i f : EF i g : FG són funcions, i si x és un element de E tal que f is derivable al punt x i g is derivable al punt f(x), llavors la derivada (la derivada de Fréchet) de la funció composta g o f al punt x ve donada per

 

Fixeu-vos que en aquest cas les derivades són aplicacions lineals. No nombres. Si les aplicacions lineals es representen com a matrius (jacobians), la composició del cantó dret es transforma en una multiplicació de matrius.

Tensors i la regla de la cadenaModifica

Vegeu camp tensorial per a una explicació avançada del paper que juga la regla de la cadena a la natura dels tensors.

Derivades d'ordre superiorModifica

La fórmula de Faà di Bruno generalitza la regla de la cadena a derivades d'ordre superior. Unes quantes de les primeres derivades són

 
 
 
 

Vegeu tambéModifica

ReferènciesModifica

  1. Apostol, Tom. Mathematical analysis. 2a ed.. Addison Wesley, 1974, p. Theorem 5.5. 
  2. Perelló, Carles. Càlcul infinitesimal : amb mètodes numèrics i aplicacions (en català). Barcelona: Enciclopèdia Catalana, 1994. ISBN 84-7739-518-7.