En càlcul infinitesimal , la regla de la cadena és una fórmula per a calcular la derivada de la composició de dues funcions.
De forma intuïtiva, si una variable , y , depèn d'una segona variable, u , i aquesta alhora depèn d'una tercera variable, x , llavors la velocitat de canvi de y respecte de x es pot calcular com la velocitat de canvi de y respecte de u multiplicada per la velocitat de canvi de u respecte de x .
La regla de la cadena diu que, quan es compleixen les condicions adequades, se satisfà que
(
f
∘
g
)
′
(
x
)
=
f
′
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
,
{\displaystyle (f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x),\,}
Això de forma resumida s'escriu
(
f
∘
g
)
′
=
f
′
∘
g
⋅
g
′
{\displaystyle (f\circ g)'=f'\circ g\cdot g'}
De forma alternativa, emprant la notació de Leibniz ,
d
f
d
x
=
d
f
d
g
d
g
d
x
.
{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}{\frac {dg}{dx}}.}
La contrapartida en càlcul integral de la regla de la cadena és la regla de substitució .
La regla de la cadena d'una variable es pot definir de forma més precisa tal com segueix.[ 1] [ 2] f una funció real sobre (a ,b ) que és diferenciable a c ∈ (a ,b ); i g una funció real definida sobre un interval I que conté el rang de f i f (c ) com un punt interior . Si g és derivable a f (c ), llavors
(
f
∘
g
)
(
x
)
{\displaystyle (f\circ g)(x)}
x =c , i
(
f
∘
g
)
′
(
c
)
=
f
′
(
g
(
c
)
)
g
′
(
c
)
.
{\displaystyle (f\circ g)'(c)=f'(g(c))g'(c).}
Suposant els cas on, hom està pujant a un cim a una velocitat de 0.5 kilòmetres per hora. La temperatura és més baixa a alçades més grans; Suposant que el ritme a què baixa la temperatura és de 6 °C per kilòmetre. Si es multiplica 6 °C per kilòmetre per 0.5 kilòmetres per hora, s'obté 3 °C per hora. Aquest càlcul és una aplicació típica de la regla de la cadena.
Considerant
f
(
x
)
=
(
x
2
+
1
)
3
{\displaystyle \,f(x)=(x^{2}+1)^{3}}
f
(
x
)
=
h
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle \,f(x)=h(g(x))}
g
(
x
)
=
x
2
+
1
{\displaystyle \,g(x)=x^{2}+1}
h
(
x
)
=
x
3
.
{\displaystyle \,h(x)=x^{3}.}
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)\,}
=
h
′
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle =h'(g(x))g'(x)\,}
=
3
(
g
(
x
)
)
2
(
2
x
)
{\displaystyle =3(g(x))^{2}(2x)\,}
=
3
(
x
2
+
1
)
2
(
2
x
)
{\displaystyle =3(x^{2}+1)^{2}(2x)\,}
=
6
x
(
x
2
+
1
)
2
.
{\displaystyle =6x(x^{2}+1)^{2}.\,}
Per a calcular la derivada de la funció trigonomètrica
f
(
x
)
=
sin
(
x
2
)
,
{\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}),\,}
Es pot escriure
f
(
x
)
=
h
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle f(x)=h(g(x))}
h
(
x
)
=
sin
x
{\displaystyle h(x)=\sin x}
g
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle g(x)=x^{2}}
La regla de la cadena dona
f
′
(
x
)
=
2
x
cos
(
x
2
)
{\displaystyle f'(x)=2x\cos(x^{2})\,}
Donat que
h
′
(
g
(
x
)
)
=
cos
(
x
2
)
{\displaystyle h'(g(x))=\cos(x^{2})}
g
′
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle g'(x)=2x}
Deriveu
arctan
sin
x
{\displaystyle \arctan \,\sin \,x}
d
d
x
arctan
x
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan \,x\,=\,{\frac {1}{1+x^{2}}}}
d
d
x
arctan
f
(
x
)
=
f
′
(
x
)
1
+
f
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan \,f(x)\,=\,{\frac {f'(x)}{1+f^{2}(x)}}}
d
d
x
arctan
sin
x
=
cos
x
1
+
sin
2
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan \,\sin \,x\,=\,{\frac {\cos \,x}{1+\sin ^{2}\,x}}}
Regla de la cadena per a diverses variables
modifica
La regla de la cadena també funciona per a funcions de més d'una variable. Si les funcions
z
=
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle z=f(x,y)}
x
=
g
(
t
)
{\displaystyle x=g(t)}
y
=
h
(
t
)
{\displaystyle y=h(t)}
g
(
t
)
{\displaystyle g(t)}
h
(
t
)
{\displaystyle h(t)}
t
{\displaystyle t}
d
z
d
t
=
∂
f
∂
x
d
x
d
t
+
∂
f
∂
y
d
y
d
t
{\displaystyle {\ dz \over dt}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}}
Suposant que cada funció de
z
=
f
(
u
,
v
)
{\displaystyle z=f(u,v)}
u
=
h
(
x
,
y
)
{\displaystyle u=h(x,y)}
v
=
g
(
x
,
y
)
{\displaystyle v=g(x,y)}
∂
z
∂
x
=
∂
z
∂
u
∂
u
∂
x
+
∂
z
∂
v
∂
v
∂
x
{\displaystyle {\partial z \over \partial x}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial x}}
∂
z
∂
y
=
∂
z
∂
u
∂
u
∂
y
+
∂
z
∂
v
∂
v
∂
y
{\displaystyle {\partial z \over \partial y}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial y}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial y}}
Si es considera
r
→
=
(
u
,
v
)
{\displaystyle {\vec {r}}=(u,v)}
producte escalar del gradient de f per la derivada parcial de
r
→
{\displaystyle {\vec {r}}}
∂
f
∂
x
=
∇
→
f
⋅
∂
r
→
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}={\vec {\nabla }}f\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x}}}
De forma més general, per a funcions vectorials de diverses variables, la regla de la cadena diu que el jacobià de la funció compsició és el producte de les matrius Jacobianes de les dues funcions:
∂
(
z
1
,
…
,
z
m
)
∂
(
x
1
,
…
,
x
p
)
=
∂
(
z
1
,
…
,
z
m
)
∂
(
y
1
,
…
,
y
n
)
∂
(
y
1
,
…
,
y
n
)
∂
(
x
1
,
…
,
x
p
)
{\displaystyle {\frac {\partial (z_{1},\ldots ,z_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{p})}}={\frac {\partial (z_{1},\ldots ,z_{m})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}{\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{p})}}}
modifica
Sien f i g funcions i sia x un nombre tal que f és derivable al punt g(x) i g és derivable al punt x . Llavors per la definició de derivada,
g
(
x
+
δ
)
−
g
(
x
)
=
δ
g
′
(
x
)
+
ϵ
(
δ
)
δ
{\displaystyle g(x+\delta )-g(x)=\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\delta \,}
ϵ
(
δ
)
→
0
{\displaystyle \epsilon (\delta )\to 0\,}
δ
→
0.
{\displaystyle \delta \to 0.}
De manera similar,
f
(
g
(
x
)
+
α
)
−
f
(
g
(
x
)
)
=
α
f
′
(
g
(
x
)
)
+
η
(
α
)
α
{\displaystyle f(g(x)+\alpha )-f(g(x))=\alpha f'(g(x))+\eta (\alpha )\alpha \,}
η
(
α
)
→
0
{\displaystyle \eta (\alpha )\to 0\,}
α
→
0.
{\displaystyle \alpha \to 0.\,}
Ara
f
(
g
(
x
+
δ
)
)
−
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle f(g(x+\delta ))-f(g(x))\,}
=
f
(
g
(
x
)
+
δ
g
′
(
x
)
+
ϵ
(
δ
)
δ
)
−
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle =f(g(x)+\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\delta )-f(g(x))\,}
=
α
δ
f
′
(
g
(
x
)
)
+
η
(
α
δ
)
α
δ
{\displaystyle =\alpha _{\delta }f'(g(x))+\eta (\alpha _{\delta })\alpha _{\delta }\,}
on
α
δ
=
δ
g
′
(
x
)
+
ϵ
(
δ
)
δ
{\displaystyle \alpha _{\delta }=\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\delta \,}
δ
→
0
,
{\displaystyle \delta \to 0,}
α
δ
δ
→
g
′
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\alpha _{\delta }}{\delta }}\to g'(x)}
α
δ
→
0
{\displaystyle \alpha _{\delta }\to 0}
η
(
α
δ
)
→
0
{\displaystyle \eta (\alpha _{\delta })\to 0}
f
(
g
(
x
+
δ
)
)
−
f
(
g
(
x
)
)
δ
→
g
′
(
x
)
f
′
(
g
(
x
)
)
quan
δ
→
0.
{\displaystyle {\frac {f(g(x+\delta ))-f(g(x))}{\delta }}\to g'(x)f'(g(x)){\mbox{ quan }}\delta \to 0.}
Tenim una funció
h
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle \,h(x)=f(g(x))}
h
′
(
a
)
=
lim
x
→
a
f
(
g
(
x
)
)
−
f
(
g
(
a
)
)
x
−
a
{\displaystyle h^{\prime }(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(g(x))-f(g(a))}{x-a}}}
Multiplicant a dalt i a baix per
g
(
x
)
−
g
(
a
)
{\displaystyle g(x)-g(a)\,}
h
′
(
a
)
=
lim
x
→
a
f
(
g
(
x
)
)
−
f
(
g
(
a
)
)
g
(
x
)
−
g
(
a
)
⋅
g
(
x
)
−
g
(
a
)
x
−
a
{\displaystyle h^{\prime }(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}}
Aplicant la definició de derivada un altre cop, tenim que:
(
f
∘
g
)
′
(
x
)
=
f
′
∘
g
⋅
g
′
=
f
′
(
g
(
x
)
)
⋅
g
′
(
x
)
{\displaystyle (f\circ g)^{\prime }(x)=f^{\prime }\circ g\cdot g^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)}
modifica
La regla de la cadena és una propietat fonamental de totes les definicions de derivada i, per tant, és vàlida en contextos molt més generals. Per exemple, si E , F i G són espai de Banach (els quals inclouen l'Espai euclidià ) i f : E → F i g : F → G són funcions, i si x és un element de E tal que f is derivable al punt x i g is derivable al punt f (x ), llavors la derivada (la derivada de Fréchet ) de la funció composta g o f al punt x ve donada per
D
x
(
g
∘
f
)
=
D
f
(
x
)
(
g
)
∘
D
x
(
f
)
.
{\displaystyle {\mbox{D}}_{x}\left(g\circ f\right)={\mbox{D}}_{f\left(x\right)}\left(g\right)\circ {\mbox{D}}_{x}\left(f\right).}
Fixeu-vos que en aquest cas les derivades són aplicacions lineals . No nombres. Si les aplicacions lineals es representen com a matrius (jacobians ), la composició del cantó dret es transforma en una multiplicació de matrius .
Tensors i la regla de la cadena
modifica
Vegeu camp tensorial per a una explicació avançada del paper que juga la regla de la cadena a la natura dels tensors .
