Resurgència

En A.Hurwitz va plantejar, en el seu quadern, en data del 6 de desembre 1918, la pregunta de si era possible que una sèrie de potències

representant una funció diferent de , admetés continuació analítica al llarg d'un camí tancat al voltant de i, a la fi de la continuació, prengués la forma

és a dir, es pot continuar analíticament una funció holomorfa cap a la seva derivada?

La solució de LewyModifica

En H.Lewy va respondre afirmativament, i va donar una solució del problema que presentem aquí en una forma lleugerament modificada (vegeu A.Naftalevich: On a differential-difference equation, The Michigan Mathematical Journal, 22 (1975)).

Es consideri la funció:     és holomorfa per   i pot ser continuada analíticament als semiplans  , de la manera següent: sigui   tal que   i fem  .

Escrivem, per a  ,

 
 
 
 

Aquesta darrera integral, que anominem  , ha de ser calculada sobre la corba   definida en posar  .

Hom ha   per a unes constantes reals positives  ,   i  , car   tendeix a   quan  .

Així per a   hom ha   però aquesta darrera integral convergeix en   i, doncs, hi defineix una continuació analítica de  . Repetem el procediment   vegades: això ens dóna finalment una continuació analítica de   al semiplà  ; així doncs,   pot ser continuada analíticament a tot punt  .

Finalment, si fem la continuació analítica al llarg del camí  , obtenim, designant   l'element de funció holomorfa obtingut (en un entorn de  ) després una volta completa,  

 

 

 

Això acaba la presentació de la solució d'aquest problema.