Sèrie de Schlömilch

La sèrie de Schlömilch és una expansió de tipus sèrie de Fourier de funcions dues vegades diferenciable en l'interval $(0,\pi )$ en termes de funcions de Bessel de primer tipus, que du el nom del matemàtic alemany Oskar Schlömilch, que la va derivar l'any 1857. Una funció de valor real $f(x)$ té la següent expansió:

$f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}J_{0}(nx),$

on

${\begin{aligned}a_{0}&=f(0)+{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi /2}uf'(u\sin \theta )\ d\theta \ du,\\a_{n}&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi /2}u\cos nu\ f'(u\sin \theta )\ d\theta \ du.\end{aligned}}$

Exemples

Alguns exemples de sèries de Schlömilch són els següents:

• Es pot expressar la funció nul·la en l'interval $(0,\pi )$ com una sèrie de Schlömilch, amb $0={\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{0}(nx)$, cosa que no es pot fer amb sèries de Fourier.
• $x={\frac {\pi ^{2}}{4}}-2\sum _{n=1,3,...}^{\infty }{\frac {J_{0}(nx)}{n^{2}}},\quad 0<x<\pi .$
• $x^{2}={\frac {2\pi ^{2}}{3}}+8\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}J_{0}(nx),\quad -\pi <x<\pi .$
• ${\frac {1}{x}}+\sum _{m=1}^{k}{\frac {2}{\sqrt {x^{2}-4m^{2}\pi ^{2}}}}={\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }J_{0}(nx),\quad 2k\pi <x<2(k+1)\pi .$
• Si $(r,z)$ són coordenades cilíndriques polars, llavors la sèrie $1+\sum _{n=1}^{\infty }e^{-nz}J_{0}(nr)$ és la solució de l'equació de Laplace per $z>0$.