En matemàtiques , una sèrie telescòpica és aquella sèrie on les sumes parcials posseeixen un nombre fix de termes després de la seva cancel·lació.
(
a
2
−
a
1
)
+
(
a
3
−
a
2
)
+
(
a
4
−
a
3
)
+
…
+
(
a
n
−
a
n
−
1
)
=
a
n
−
a
1
{\displaystyle (a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+(a_{4}-a_{3})+\ldots +(a_{n}-a_{n-1})=a_{n}-a_{1}\,}
Un exemple típic de sèrie telescòpica és la sèrie de Mengoli (la sèrie de recíprocs dels nombres prònics ), que es defineix per
∑
n
=
1
∞
1
n
(
n
+
1
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}}
i es pot calcular segons[ 3]
∑
n
=
1
∞
1
n
(
n
+
1
)
=
∑
n
=
1
∞
(
1
n
−
1
n
+
1
)
=
lim
N
→
∞
∑
n
=
1
N
(
1
n
−
1
n
+
1
)
=
lim
N
→
∞
[
(
1
−
1
2
)
+
(
1
2
−
1
3
)
+
⋯
+
(
1
N
−
1
N
+
1
)
]
=
lim
N
→
∞
[
1
+
(
−
1
2
+
1
2
)
+
(
−
1
3
+
1
3
)
+
⋯
+
(
−
1
N
+
1
N
)
−
1
N
+
1
]
=
lim
N
→
∞
[
1
−
1
N
+
1
]
=
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack =1.\end{aligned}}}
Tot i que les sèries telescòpiques poden resultar una tècnica útil, hi ha alguns inconvenients amb els quals cal comptar. El procediment
0
=
∑
n
=
1
∞
0
=
∑
n
=
1
∞
(
1
−
1
)
=
1
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
+
1
)
=
1
{\displaystyle 0=\sum _{n=1}^{\infty }0=\sum _{n=1}^{\infty }(1-1)=1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1+1)=1\,}
no és correcte perquè aquesta forma de reagrupar els termes només és vàlida si els termes per separat convergeixen a 0. La manera d'evitar aquest error és, en primer lloc, trobar la suma dels N primers termes i, en segon lloc, aplicar el límit amb N aproximant-se a l'infinit .
∑
n
=
1
N
1
n
(
n
+
1
)
=
∑
n
=
1
N
(
1
n
−
1
n
+
1
)
=
(
1
−
1
2
)
+
(
1
2
−
1
3
)
+
⋯
+
(
1
N
−
1
N
+
1
)
=
1
+
(
−
1
2
+
1
2
)
+
(
−
1
3
+
1
3
)
+
⋯
+
(
−
1
N
+
1
N
)
−
1
N
+
1
=
1
−
1
N
+
1
→
1
q
u
a
n
N
→
∞
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&{}=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)\\&{}=1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}\\&{}=1-{\frac {1}{N+1}}\to 1\ \mathrm {quan} \ N\to \infty .\end{aligned}}}
(
1
−
x
)
∑
k
=
0
n
x
k
=
(
1
−
x
)
(
1
+
x
+
x
2
+
⋯
+
x
n
)
=
(
1
−
x
)
+
(
x
−
x
2
)
+
(
x
2
−
x
3
)
+
⋯
+
(
x
n
−
x
n
+
1
)
=
1
−
x
n
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}(1-x)\sum _{k=0}^{n}x^{k}&=(1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n})\\&=(1-x)+(x-x^{2})+(x^{2}-x^{3})+\dotsb +(x^{n}-x^{n+1})\\&=1-x^{n+1}\end{aligned}}}
o, més formalment,
(
1
−
x
)
∑
k
=
0
n
x
k
=
∑
k
=
0
n
(
x
k
−
x
k
+
1
)
=
1
−
x
n
+
1
.
{\displaystyle (1-x)\sum _{k=0}^{n}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}(x^{k}-x^{k+1})=1-x^{n+1}.}
1
x
(
x
+
1
)
=
1
x
−
1
x
+
1
,
{\displaystyle {\frac {1}{x(x+1)}}={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x+1}},}
on es tindrà, per exemple
∑
n
=
1
∞
1
n
(
n
+
1
)
=
∑
n
=
1
∞
(
1
n
−
1
n
+
1
)
=
(
1
−
1
2
)
+
(
1
2
−
1
3
)
+
⋯
=
1
+
(
−
1
2
+
1
2
)
+
(
−
1
3
+
1
3
)
+
⋯
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots \\&=1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots =1\end{aligned}}}
i
∑
n
=
2
∞
1
n
2
−
1
4
=
∑
n
=
2
∞
(
1
n
−
1
2
−
1
n
+
1
2
)
=
(
2
3
−
2
5
)
+
(
2
5
−
2
7
)
+
⋯
=
2
3
+
(
−
2
5
+
2
5
)
+
(
−
2
7
+
2
7
)
+
⋯
=
2
3
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}-{\frac {1}{4}}}}&=\sum _{n=2}^{\infty }\left({\frac {1}{n-{\frac {1}{2}}}}-{\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}\right)\\&=\left({\frac {2}{3}}-{\frac {2}{5}}\right)+\left({\frac {2}{5}}-{\frac {2}{7}}\right)+\cdots \\&={\frac {2}{3}}+\left(-{\frac {2}{5}}+{\frac {2}{5}}\right)+\left(-{\frac {2}{7}}+{\frac {2}{7}}\right)+\cdots ={\frac {2}{3}}.\end{aligned}}}
Moltes funcions trigonomètriques poden representar-se com una diferència, el que permet la cancel·lació entre termes consecutius en la sèrie telescòpica.
∑
n
=
1
N
sen
(
n
)
=
∑
n
=
1
N
1
2
csc
(
1
2
)
(
2
sen
(
1
2
)
sen
(
n
)
)
=
1
2
csc
(
1
2
)
∑
n
=
1
N
(
cos
(
2
n
−
1
2
)
−
cos
(
2
n
+
1
2
)
)
=
1
2
csc
(
1
2
)
(
cos
(
1
2
)
−
cos
(
2
N
+
1
2
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {sen} \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\operatorname {sen} \left({\frac {1}{2}}\right)\operatorname {sen} \left(n\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right).\end{aligned}}}
Algunes sumes de la forma
∑
n
=
1
N
f
(
n
)
g
(
n
)
,
{\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{f(n) \over g(n)},}
on f i g són funcions polinòmiques on el quocient pot separar-se en fraccions parcials, no admeten sumar per aquest mètode. En particular, s'obté
∑
n
=
0
∞
2
n
+
3
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
=
∑
n
=
0
∞
(
1
n
+
1
+
1
n
+
2
)
=
(
1
1
+
1
2
)
+
(
1
2
+
1
3
)
+
(
1
3
+
1
4
)
+
⋯
⋯
+
(
1
n
−
1
+
1
n
)
+
(
1
n
+
1
n
+
1
)
+
(
1
n
+
1
+
1
n
+
2
)
+
⋯
=
∞
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+3}{(n+1)(n+2)}}&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)\\&{}=\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \\&{}\cdots +\left({\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n}}\right)+\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)+\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)+\cdots \\&{}=\infty .\end{aligned}}}
El problema està en el fet que els termes no es cancel·len.
∑
n
=
1
∞
1
n
(
n
+
k
)
=
H
k
k
,
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+k)}}={\frac {H_{k}}{k}},}
on H k és el k -èsim nombre harmònic . Tots els termes després de 1/(k − 1) es cancel·len.
Convé, en el cas de le sèries, no passar per alt els problemes de convergència; d'una altra manera podria inferir, per exemple,
1
+
1
+
1
+
⋯
=
(
2
−
1
)
+
(
3
−
2
)
+
(
4
−
3
)
+
⋯
=
−
1
+
(
2
−
2
)
+
(
3
−
3
)
+
⋯
=
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}1+1+1+\cdots &=(2-1)+(3-2)+(4-3)+\cdots \\&=-1+(2-2)+(3-3)+\cdots \\&=-1\end{aligned}}}
però els resultats així obtinguts no sempre tenen sentit (vegeu sèrie divergent ) .
Una aplicació en la teoria de la probabilitat
modifica
En teoria de la probabilitat , un procés de Poisson és un procés estocàstic del qual el cas més simple consisteix en «ocurrències» en moments aleatoris, el temps d'espera fins a la següent aparició que té una distribució exponencial sense memòria, i el nombre d' «ocurrències» en qualsevol interval de temps que tenen una distribució de Poisson on el valor esperat és proporcional a la longitud de l'interval de temps. Sigui X t el nombre d' «ocurrències» abans de temps t , i sigui T x el temps d'espera fins a l'ordre x «ocurrència». Busquem la funció de densitat de probabilitat de la variable aleatòria T x . Fem servir la funció de massa de probabilitat per a la distribució de Poisson, que ens diu que
Pr
(
X
t
=
x
)
=
(
λ
t
)
x
e
−
λ
t
x
!
,
{\displaystyle \Pr(X_{t}=x)={\frac {(\lambda t)^{x}e^{-\lambda t}}{x!}},}
on λ és el nombre mitjà d'ocurrències en qualsevol interval de temps de longitud 1. Noteu que l'esdeveniment {X t ≥ x} és el mateix que l'esdeveniment {T x ≤ t } i, per tant, tenen la mateixa probabilitat. Per tant, la funció de densitat que busquem és
f
(
t
)
=
d
d
t
Pr
(
T
x
≤
t
)
=
d
d
t
Pr
(
X
t
≥
x
)
=
d
d
t
(
1
−
Pr
(
X
t
≤
x
−
1
)
)
=
d
d
t
(
1
−
∑
u
=
0
x
−
1
Pr
(
X
t
=
u
)
)
=
d
d
t
(
1
−
∑
u
=
0
x
−
1
(
λ
t
)
u
e
−
λ
t
u
!
)
=
λ
e
−
λ
t
−
e
−
λ
t
∑
u
=
1
x
−
1
(
λ
u
t
u
−
1
(
u
−
1
)
!
−
λ
u
+
1
t
u
u
!
)
{\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&{}={\frac {d}{dt}}\Pr(T_{x}\leq t)={\frac {d}{dt}}\Pr(X_{t}\geq x)={\frac {d}{dt}}(1-\Pr(X_{t}\leq x-1))\\\\&{}={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}\Pr(X_{t}=u)\right)={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}{\frac {(\lambda t)^{u}e^{-\lambda t}}{u!}}\right)\\\\&{}=\lambda e^{-\lambda t}-e^{-\lambda t}\sum _{u=1}^{x-1}\left({\frac {\lambda ^{u}t^{u-1}}{(u-1)!}}-{\frac {\lambda ^{u+1}t^{u}}{u!}}\right)\end{aligned}}}
La suma telescòpica dona
f
(
t
)
=
λ
x
t
x
−
1
e
−
λ
t
(
x
−
1
)
!
.
{\displaystyle f(t)={\frac {\lambda ^{x}t^{x-1}e^{-\lambda t}}{(x-1)!}}.}
Per a altres aplicacions, vegeu:
Apostol , Tom M. Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra (en anglès). Wiley, 1991. ISBN 978-0471000051 .
Thomson , Brian S; Bruckner , Andrew M. Elementary Real Analysis (en anglès). CreateSpace, 2008. ISBN 978-1434843678 .