Símbol de Levi-Civita

El símbol de Levi-Civita, també anomenat símbol de permutació és un símbol matemàtic, especialment utilitzat en càlcul tensorial. Rep el seu nom en honor de matemàtic i físic italià Tullio Levi-Civita.

DefinicióModifica

 
Visualització del símbol de Levi-Civita.

En tres dimensions el símbol de Levi-Civita es defineix de la forma següent:

 

Per exemple, és 1 si (i, j, k) és la permutació parell de (1,2,3), −1 si és una permutació imparell, i 0 si no es repeteix cap índex. Per exemple, en àlgebra lineal, el determinant d'una matriu A de 3x3 es pot escriure

  (i de manera general per a qualsevol matriu quadrada, vegeu més endavant)

i el producte vectorial de dos vectors es pot escriure com un determinant:

 

o de manera més simple:

 

D'acord amb la notació d'Einstein, el símbol del sumatori pot ser omès. El tensor els components del qual vénen donats pel símbol de Levi-Civita (un tensor covariant de rang 3) de vegades rep el nom de tensor de permutació. Actualment se'l considera un pseudovector perquè sota una transformació ortogonal del determinant jacobià -1 (per exemple, una rotació composta amb una reflexió), dóna -1. Com que el símbol de Levi-Civita és un pseudotensor, el resultat de fer el producte vectorial és un pseudovector, no un vector.

Relació amb la delta de KroneckerModifica

El símbol de Levi-Civita és relacionat amb la delta de Kronecker. En tres dimensions la relació ve donada per les següents equacions:

 
 
  ("contracció de la identitat epsilon")
 

Generalització per n dimensionsModifica

El símbol de Levi-Civita es pot generalitzar per a matrius de dimensions més grans:

 

Així, tindrem la signatura de permutació en el cas d'una permutació, i zero si no hi és.

A més es pot representar com

 

que sempre es verificarà en n dimensions. En una notació tensorial d'índex lliure, el śimbol de Levi-Civita es reemplaça pel concepte de dualitat de Hodge. En general per a   dimensions el producte de dos símbols de Levi-Civita el podem escriure com:

 .

Ara podem contraure els índexs  , això afegirà un factor   al determinant i haurem d'ometre el delta de Kronecker.