Obre el menú principal

Segon axioma de numerabilitat

Es diu que un espai topològic verifica el segon axioma de numerabilitat (o que és segon numerable o segon comptable) si la seva topologia té una base numerable. En forma abreujada, se sol dir que l'espai és IIAN o ANII.

PropietatsModifica

  • El ser ANII és una propietat global que limita el nombre d'oberts de la topologia. De fet, es demostra que si (XT) és ANII, llavors el cardinal de T és menor o igual que el cardinal del continu.
  • Ser ANII és una propietat hereditària: tot subespai d'un espai ANII també ho és.
  • El producte numerable d'espais ANII és al seu torn ANII.
  • Tot espai ANII és un espai ANI.[1]

ExemplesModifica

  • L'espai euclidià ℝn amb la seva topologia usual és ANII. Tot i que la base formada per les boles obertes no és numerable, podem arribar a un que sí que ho és: la formada per les boles de radi racional i el centre tingui coordenades racionals.
  • La tàctica anterior pot repetir-se en un espai mètric separable (és a dir que contingui un subconjunt dens numerable A). Com a base n'hi ha prou escollir de nou les boles de radi racional centrades en A.
  • L'espai topològic discret,  , és ANII si y només si   és numerable.[1]
  • L'espai de Sorgenfrey no és ANII, encara que sí és ANI.[2]
  • La recta cofinita,  , no és ANII ja que no és ANI.[2]

Vegeu tambéModifica

ReferènciesModifica

  1. 1,0 1,1 Llopis, José L. «Axiomes de numerabilitat» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 2 setembre 2019].
  2. 2,0 2,1 Macho Stadler, Marta «Topologia general (primera part)» (en castellà). Universitat del País Basc [Consulta: 2 setembre 2019].