Superfície de Catalan

En geometria, una superfície de Catalan, anomenada així pel matemàtic belga Eugène Charles Catalan, és una superfície reglada on tots els regles són paral·lels a un pla fix.

Una superfície de Catalan.

Equacions

L'equació vectorial d'una superfície de Catalan ve donada per

r = s(u) + v L(u),

On r = s(u) és la corba espacial i L(u) és el vector unitari del regle a u = u. Tots els vectors L(u) són paral·lels al mateix pla, anomenat pla directriu de la superfície. Això pot ser caracteritzat per la condició: producte mixt [L(u), L' (u), L" (u)] = 0.[1]

Les equacions paramètriques de la superfície de Catalan són [2]

$x=f(u)+vi(u),\quad y=g(u)+vj(u),\quad z=h(u)+vk(u)\,$

Casos especials

Si tot els regles d'una superfície de Catalan interseccionen una recta fixa, llavors la superfície és anomenada un conoide.

Catalan va provar que l'helicoide i el pla eren les úniques superfícies mínimes reglades.

Referències

• A. Gray, E. Abbena, S. Salamon, Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica, 3rd ed. Boca Raton, Florida:CRC Press, 2006. [3] (ISBN 978-1-58488-448-4)
• Michiel Hazewinkel (ed.). Catalan surface. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• V. Y. Rovenskii, Geometry of curves and surfaces with MAPLE [4] (ISBN 978-0-8176-4074-3)