Tensor de Killing-Yano

En geometria riemannianna, un tensor de Killing-Yano és una generalització del concepte de vector de Killing a un tensor de dimensió superior. Van ser introduïts l'any 1952 per Kentaro Yano.[1] Un tensor antisimètric d'ordre p és anomenat de Killing-Yano quan verifica l'equació:

Aquesta equació difereix de la generalització habitual del concepte de vector de Killing a tensors d'ordre superior, anomenats tensors de Killing pel fet que la derivada covariant D és simetritzada amb un únic índex del tensor i no amb la seva totalitat, com és el cas per als tensors de Killing.

Tensors de Killing-Yano trivials modifica

Tot vector de Killing és un tensor de Killing d'ordre 1 i un tensor de Killing-Yano.

El tensor completament antisimètric (anomenat tensor de Levi-Civita)  , on n és la dimensió de la varietat, és un tensor de Killing-Yano, amb derivada covariant sempre nul·la.

Construcció dels tensors de Killing a partir dels tensors de Killing-Yano modifica

Existeixen diverses maneres de construir els tensors de Killing (simètrics) a partir dels tensors de Killing-Yano

Primerament, es poden obtenir dos tensors de Killing trivials a partir de tensors de Killing-Yano :

  • A partir d'un tensor de Killing-Yano d'ordre 1  , es pot construir un tensor de Killing   d'ordre de 2 segons
 
  • A partir del tensor completament antisimètric    , es pot construir el tensor de Killing trivial 
 

De manera més interessant, a partir de dos tensors de Killing-Yano d'ordre 2   i  , es pot construir el tensor de Killing d'ordre 2   segons

 

A partir d'un tensor de Killing-Yano d'ordre n-1,  , es pot construir el vector associat al sentit d'Hodge (veure Dualitat d'Hodge),

 

Del fet que el tensor   és de Killing-Yano, el vector A no és Killing-Yano, però obeeix l'equació.

 

Aquesta propietat permet construït un tensor de Killing   a partir de dos vectors com aquests, definit per:

 

Tota combinació lineal de tensors de Killing-Yano és igualment un tensor de Killing-Yano

Propietats modifica

Un cert nombre de propietats dels espaitemps quadridimensionnels implides en els tensors de Killing-Yano han estat exposades per C. D. Collinson i H. Stephani al voltant dels anys 1970.[2] · [3] · [4]

  • Si un espaitemps admet un tensor de Killing-Yano no degenerat, llavors aquest pot escriure's sota la forma
 
on k, l, m i   formen una tètrade i les funcions X i Y obeeixen un cert nombre d'equacions diferencials. A més, el tensor de Killing-Yano va obeeix la relació següent amb el tensor de Ricci:[3] · [4]
 
  • Les solucions a les equacions d'Einstein en el buit i de tipus D en la classificació de Petrov admeten un tensor de Killing i un tensor de Killing-Yano, tots dos d'ordre 2 i regits per la fórmula de més amunt.[3] · [4]
  • Si un espaitemps admet un tensor de Killing-Yano d'ordre 2 degenerat  , llavors aquest s'escriu segons la forma:
 
on k és un vector de Killing de gènere llum. El tensor de Weyl és en aquest cas de tipus N segons la classificació de Petrov, i k és el seu vector net no trivial. A més, a compleix la relació donada més amunt amb el tensor de Riemann.[2] · [4]
  • Si un espaitemps admet un tensor de Killing-Yano d'ordre 3, llavors si el vector associat per dualitat de Hodge és un vector de gènere llum constant, llavors l'espai és conformament pla.[2] · [4]

Vegeu també modifica

Bibliografia modifica

  • (en) D. Kramer, Hans Stephani, Malcolm Mac Callum et E. Herlt, Exact solutions of Einstein's field equations, Cambridge, Cambridge University Press, 1980, 428 p. (ISBN 0521230411), pages 349 à 352.

Referències modifica

  1. (anglès) Kentaro Yano, Annals of Mathematics, 55, 328 (1952).
  2. 2,0 2,1 2,2 (anglès) C. D. Collinson, The existence of Killing tensors in empty spacetimes, Tensors, 28, 173 (1974).
  3. 3,0 3,1 3,2 (anglès) C. D. Collinson, On the relationship between Killing tensors and Killing-Yano tensors, International Journal of Theoretical Physics, 15, 311 (1976).
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 (anglès) H. Stephani, A note on Killing tensors, General Relativity and Gravitation, 9, 789 (1978).