Teorema de Heine-Borel

teorema matemàtic

En matemàtiques, el teorema de Heine-Borel també anomenat teorema de Borel-Lebesgue estableix que un subconjunt de és tancat i acotat si i només si és compacte, és a dir si tot recobriment admet un subrecobriment finit. El cas particular del teorema aplicat a la recta real s'anomena sempre Teorema de Heine-Borel, mentre que fora d'aquest cas rep de vegades, el nom de Teorema de Borel-Lebesgue.

Les formulacions principals d'aquest teorema es deuen als matemàtics Eduard Heine, Émile Borel, Henri Léon Lebesgue, Bernard Bolzano i Karl Weierstrass.

Història i motivacióModifica

La història del que avui s'anomena teorema de Heine-Borel comença al segle xix, amb la cerca de teories sòlides per l'anàlisi real. En la teoria descrita era central el concepte de continuïtat uniforme i més concretament el teorema que indica que cada funció contínua en un interval tancat és uniformement contínua. Peter Gustav Lejeune Dirichlet va ser el primer en demostrar-la i implícitament en la demostració va utilitzar l'existència d'un subconjunt finit d'un conjunt obert donat d'un interval tancat.[1] Més tard, altres matemàtics com Eduard Heine, Karl Weierstrass i Salvatore Pincherle van utilitzar tècniques similars. Al 1895, Émile Borel va ser el primer en declarar i demostrar una forma primerenca del teorema, amb una formulació restringida a conjunts contables. Pierre Cousin, Lebesgue i Arthur Schoenflies el van generalitzar a conjunts arbitraris.[1]

Teoremes PreliminarsModifica

Els subconjunts tancats de conjunts compactes són compactes

Sigui F un conjunt tancat i K un conjunt compacte tals que  . Notem per   el complement de F respecte a K.

Sigui   un recobriment per oberts de F, llavors   és un recobriment per oberts de K (podem afegir   ja que és obert). Com que K és compacte llavors   té un refinament finit que també recobreix F. Podem treure   i segueix recobrint F. Així obtenim un refinament finit de qualsevol recobriment per oberts de F

Si  , on E és un conjunt infinit i K és compacte, llavors E té un punt d'acumulació en K

Si E no tingués punts d'acumulació en K llavors   on   és un entorn de radi ε > 0. És clar que el conjunt d'aquests entorns forma un recobriment de E però no té un refinament finit, el mateix compliria per K que contradiria la hipòtesi que K és compacte.

Tota k-cel·la és compacta

Sigui   una k-cel·la que consisteix en tots els punts x = (x1, x2, ..., xk) tal que   i  . Sigui   llavors si  ,  . Sigui   un recobriment arbitrari de I i suposem que I no es pot recobrir amb una família finita dels  .

Prenem   llavors els intervals   determinen 2k cel·les Qi amb  . Llavors com a mínim un Qi no es pot recobrir amb una quantitat finita de  . L'anomenarem I1 i així obtenim una successió In tal que:

  1.  .
  2.   no es pot recobrir amb una quantitat finita dels  .
  3. Si   llavors  .
  4.  

Diguem que  ; com   recobreix I llavors  . Com que Gb és obert existeix un  . Si prenem n prou gran tal que   tenim que aquest   el que contradiu la suposició que no es pot recobrir amb una quantitat finita dels  .

Demostració del teorema de Heine-BorelModifica

Enunciat: Si un conjunt   té algunes de les propietats, aleshores també té les altres dues (és a dir, són totes equivalents):

  1. E és tancat i connex.
  2. E és acotat.
  3. Tot subconjunt infinit de E té un punt d'acumulació a la frontera de E.

Demostració: Si compleix 1) llavors   per a alguna k-cel·la  , i 1) implicaria 2) pels teoremes 1 i 3 anteriors.

Si es compleix 2), llavors es compleix 3) pel teorema 2 anterior.

Ara falta demostrar que si compleix 3), aleshores compleix 1): Si E no és connex aleshores conté un conjunt   tal que  , llavors el subconjunt   és finit i té un límit en  , la qual cosa contradiu 3). Si E no és obert llavors hi ha un element   que és un punt d'acumulació de E però no és a E. Per a   hi ha   tals que  , llavors el conjunt   és infinit i té límit contingut en ell mateix, la qual cosa contradiu 3). (Q.E.D.)

Vegeu tambéModifica

ReferènciesModifica

  1. 1,0 1,1 Raman-Sundström, Manya «A Pedagogical History of Compactness». American Mathematical Monthly, 122, 7, August–September 2015, pàg. 619–635. DOI: 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619 [Consulta: 7 desembre 2015].

BibliografiaModifica

  • Apostol, Tom M. Mathematical Analysis. 2a ed.. Addison-Wesley, 1974, p. 58-60.