Teorema de Heine-Cantor

En matemàtiques, el teorema de Heine-Cantor, anomenat així per deure's a Eduard Heine i Georg Cantor, estableix que, si és una funció contínua entre dos espais mètrics i és compacte, llavors és uniformement contínua.

DemostracióModifica

La continuïtat uniforme d'una funció s'expressa com:

 

on  i   són les funcions distància als espais mètrics   i  , respectivament. Si ara assumim que   és contínua a l'espai mètric compacte   però no uniformement contínua, la negació de la continuïtat uniforme de   s'escriu com:

 

Triant  , per a tot   positiu tenim dos punts   i   de   amb les propietats a dalt descrites.

Si triem   per a   obtenim dues successions   i   tals que compleixen

 

Com que   és compacte, el teorema de Bozen-Weierstrass demostra l'existència de dues subsucesiones convergents (  i  ). Aleshores

 

Definim ara la successió

 

Com que la successió   no té termes negatius no pot convergir cap a un nombre negatiu, però per altra banda   Per tant

 

Com que   és contínua a  , tenim que   i  , és a dir,  . Però això no pot ser, ja que  .

La contradicció prova que la nostra suposició que   no és uniformement contínua és absurda: llavors   ha de ser uniformement contínua com afirma el teorema.

Enllaços externsModifica