Teorema de convolució

En matemàtica, el teorema de convolució estableix que en determinades circumstàncies, la Transformada de Fourier d'una convolució és el producte punt a punt de les transformades de Fourier. En altres paraules, la convolució en un domini (per exemple el domini temporal) és equivalent al producte punt a punt en l'altre domini (és a dir domini espectral).

Siguin f i g dues funcions la convolució s'expressa amb $f*g\,$. (Nota: l'asterisc en aquest context, indica convolució i no multiplicació, de vegades s'utilitza també el símbol $\otimes \,$). Sigui ${\mathcal {F}}\,$ l'operador de la transformada de Fourier, de manera que ${\mathcal {F}}[f]$ i ${\mathcal {F}}[g]$ són les transformades de Fourier de f i g , respectivament.

Llavors

${\mathcal {F}}[f*g]={\sqrt {2\pi }}({\mathcal {F}}[f])\cdot ({\mathcal {F}}[g])$

on "·" indica producte punt. També es pot afirmar que:

${\mathcal {F}}[f*g]={\sqrt {2\pi }}({\mathcal {F}}[f])\cdot ({\mathcal {F}}[g])$

Aplicant la transformada inversa de Fourier ${\mathcal {F}}^{-1}$, podem escriure:

$f*g={\sqrt {2\pi }}{\mathcal {F}}^{-1}[{\mathcal {F}}[f]\cdot {\mathcal {F}}[g]]$

Demostració

La demostració funciona per normalitzacions unitàries i no unitàries de la transformada de Fourier, però en la versió unitària té factors extres de ${\sqrt {2\pi }}$ que aquí, són inconvenients. Siguin $f,g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$

Siguin $F\,$ la transformada de Fourier de $f\,$ i $G\,$ la transformada de Fourier de $g\,$:

$F(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\,dx$

$G(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\,dx$.

Sigui $h\,$ la convolució de $f\,$ i $g\,$

$h(z)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,\mathrm {d} x.$

Nota:

$\int \int |f(z)g(xz)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\int |g(zx)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\,\|g\|_{1}\,dz=\|f\|_{1}\|g\|_{1}.$

Pel teorema de Fubini tenim que $h\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$, així que la seva transformada de Fourier està definida.

Sigui $H\,$ la transformada de Fourier de $h\,$:

$H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(z)e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,dx\,e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz.$

Tenint en compte que $|f(x)g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \omega }|=|f(x)g(z-x)|$ i gràcies a l'argument d'abans podem aplicar novament el teorema de Fubini:

$H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz\right)\,dx.$

Substituint $y=z-x\,$; tenim $dy=dz\,$, i per tant:

$H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi i(y+x)\cdot \omega }\,dy\right)\,dx$

$=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi iy\cdot \omega }\,dy\right)\,dx$

$=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi iy\cdot \omega }\,dy.$

Aquestes dues integrals són les definicions de $F(\omega )$ i $G(\omega )$, així que:

$H(\omega )=F(\omega )\cdot G(\omega ).$

Que és el que volíem demostrar.