Teorema fonamental del càlcul

El teorema fonamental del càlcul integral consisteix en l'afirmació de què la derivada i integral d'una funció matemàtica són operacions inverses. Això significa que tota funció contínua integrable verifica que la derivada de la seva integral és ella mateixa. Aquest teorema és central en la branca de les matemàtiques anomenada càlcul.

Una conseqüència directa d'aquest teorema, denominada ocasionalment segon teorema fonamental del càlcul, permet calcular la integral d'una funció utilitzant l'antiderivada de la funció que s'ha d'integrar.

Encara que els antics matemàtics grecs com Arquímedes ja disposaven de mètodes aproximats per al càlcul de volums, àrees i longituds corbes va ser gràcies a una idea originalment desenvolupada pel matemàtic anglès Isaac Barrow i les aportacions d'Isaac Newton i Gottfried Leibniz que aquest teorema va poder ser enunciat i demostrat.

Els teoremes fonamentals del càlcul integralModifica

Primer teorema fonamentalModifica

DeclaracióModifica

Donada una funció   integrable sobre l'interval  , definim   sobre   per   amb   fix. El teorema diu que si   és contínua a  , llavors   és derivable a   i  .

DemostracióModifica

Lema important:

Suposem que   és integrable sobre   i que:

 

Llavors

 

Comença la demostració

Hipòtesi:

Sigui  .
Sigui   una funció integrable sobre l'interval   i contínua a c.
Sigui   una funció sobre   definida així:   amb  

Tesi:

F'(c)=f(c)

Per definició tenim:  .

Suposem que h>0, llavors  .

Definim   i   com:

 ,
 

Aplicant el lema veiem que:

 .

Aleshores,

 

Ara suposem que  , siguin:

 ,
 .

Aplicant el lema veiem que:

 .

Com:

 ,

Llavors:

 .

Donat que  , llavors tenim que:

 .

I com   és contínua a c tenim que:

 ,

i això porta a:

 .

ExemplesModifica

 
 
 

Segon teorema fonamentalModifica

DeclaracióModifica

També se l'anomena Regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow.

Donada una funció   contínua a l'interval   i sigui   qualsevol funció primitiva de  , és a dir  , llavors:

 

Aquest teorema s'empra freqüentement per avaluar integrals definides.

DemostracióModifica

Hipòtesi:

Sigui   una funció contínua a l'interval  
Sigui   una funció diferenciable en l'interval   tal que  

Tesi:

 

Demostració:

Sigui

 .

Tenim pel primer teorema fonamental del càlcul que:

 .

Per tant:

  tal que  .

Observem que:

 

I d'aqui se segueix que  ; per tant:

 .

I en particular si   tenim que:

 

ExemplesModifica

 
 


BibliografiaModifica

Perelló, Carles. Càlcul infinitesimal (en català). Barcelona: Enciclopèdia Catalana, 1994. ISBN 84-7739-518-7. 



Vegeu tambéModifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Teorema fonamental del càlcul