El teorema fonamental del càlcul integral consisteix en l'afirmació de què la derivada i integral d'una funció matemàtica són operacions inverses. Això significa que tota funció contínua integrable verifica que la derivada de la seva integral és ella mateixa. Aquest teorema és central en la branca de les matemàtiques anomenada càlcul.
Una conseqüència directa d'aquest teorema, denominada ocasionalment segon teorema fonamental del càlcul , permet calcular la integral d'una funció utilitzant l'antiderivada de la funció que s'ha d'integrar.
Encara que els antics matemàtics grecs com Arquímedes ja disposaven de mètodes aproximats per al càlcul de volums, àrees i longituds corbes va ser gràcies a una idea originalment desenvolupada pel matemàtic anglès Isaac Barrow i les aportacions d'Isaac Newton i Gottfried Leibniz que aquest teorema va poder ser enunciat i demostrat.
Els teoremes fonamentals del càlcul integral
modifica
Primer teorema fonamental
modifica
Donada una funció
f
{\displaystyle \,f}
interval
[
a
,
b
]
{\displaystyle \,[a,b]}
F
{\displaystyle \,F}
[
a
,
b
]
{\displaystyle \,[a,b]}
F
(
x
)
=
∫
α
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x)={\int _{\alpha }^{x}f(t)dt}}
α
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle \alpha \in [a,b]}
f
{\displaystyle \,f}
contínua a
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
F
{\displaystyle \,F}
derivable a
c
{\displaystyle \,c}
F
′
(
c
)
=
f
(
c
)
{\displaystyle \,F'(c)=f(c)}
Lema important:
Suposem que
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
m
≤
f
(
x
)
≤
M
∀
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle m\leq f(x)\leq M\ \forall x\in [a,b]}
Llavors
m
(
b
−
a
)
≤
∫
a
b
f
(
t
)
d
t
≤
M
(
b
−
a
)
{\displaystyle m(b-a)\leq {\int _{a}^{b}f(t)dt}\leq M(b-a)}
Comença la demostració
Hipòtesi:
Sigui
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
Sigui
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
c .
Sigui
F
{\displaystyle F}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
F
(
x
)
=
∫
α
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x)=\int _{\alpha }^{x}f(t)dt}
α
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle \alpha \in [a,b]}
Tesi:
F'(c)=f(c) Per definició tenim:
F
′
(
c
)
=
lim
h
→
0
F
(
c
+
h
)
−
F
(
c
)
h
{\displaystyle F'(c)={\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}}}
Suposem que h>0, llavors
F
(
c
+
h
)
−
F
(
c
)
=
∫
c
c
+
h
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(c+h)-F(c)={\int _{c}^{c+h}f(t)dt}}
Definim
m
h
{\displaystyle m_{h}}
M
h
{\displaystyle M_{h}}
m
h
=
inf
{
f
(
x
)
|
c
≤
x
≤
c
+
h
}
{\displaystyle m_{h}=\inf\{f(x)|c\leq x\leq c+h\}}
M
h
=
sup
{
f
(
x
)
|
c
≤
x
≤
c
+
h
}
{\displaystyle M_{h}=\sup\{f(x)|c\leq x\leq c+h\}}
Aplicant el lema veiem que:
m
h
⋅
h
≤
∫
c
c
+
h
f
(
t
)
d
t
≤
M
h
⋅
h
{\displaystyle m_{h}\cdot h\leq {\int _{c}^{c+h}f(t)dt}\leq M_{h}\cdot h}
Aleshores,
m
h
≤
F
(
c
+
h
)
−
F
(
c
)
h
≤
M
h
{\displaystyle m_{h}\leq {\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}\leq M_{h}}
Ara suposem que
h
<
0
{\displaystyle h<0}
m
∗
h
=
inf
{
f
(
x
)
|
c
+
h
≤
x
≤
c
}
{\displaystyle {m^{*}}_{h}=\inf\{f(x)|c+h\leq x\leq c\}}
M
∗
h
=
sup
{
f
(
x
)
|
c
+
h
≤
x
≤
c
}
{\displaystyle {M^{*}}_{h}=\sup\{f(x)|c+h\leq x\leq c\}}
Aplicant el lema veiem que:
m
∗
h
⋅
(
−
h
)
≤
∫
c
+
h
c
f
(
t
)
d
t
≤
M
∗
h
⋅
(
−
h
)
{\displaystyle {m^{*}}_{h}\cdot (-h)\leq {\int _{c+h}^{c}f(t)dt}\leq {M^{*}}_{h}\cdot (-h)}
Com:
F
(
c
+
h
)
−
F
(
c
)
=
∫
c
c
+
h
f
(
t
)
d
t
=
−
∫
c
+
h
c
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(c+h)-F(c)={\int _{c}^{c+h}f(t)dt}=-{\int _{c+h}^{c}f(t)dt}}
Llavors:
m
∗
h
⋅
h
≥
F
(
c
+
h
)
−
F
(
c
)
≥
M
∗
h
⋅
h
{\displaystyle {m^{*}}_{h}\cdot h\geq F(c+h)-F(c)\geq {M^{*}}_{h}\cdot h}
Donat que
h
<
0
{\displaystyle h<0}
m
∗
h
≤
F
(
c
+
h
)
−
F
(
c
)
h
≤
M
∗
h
{\displaystyle {m^{*}}_{h}\leq {\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}\leq {M^{*}}_{h}}
I com
f
{\displaystyle f}
c tenim que:
lim
h
→
0
m
h
=
lim
h
→
0
M
h
=
lim
h
→
0
m
∗
h
=
lim
h
→
0
M
∗
h
=
f
(
c
)
{\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}m_{h}=\lim _{h\rightarrow 0}M_{h}=\lim _{h\rightarrow 0}{m^{*}}_{h}=\lim _{h\rightarrow 0}{M^{*}}_{h}=f(c)}
i això porta a:
F
′
(
c
)
=
lim
h
→
0
F
(
c
+
h
)
−
F
(
c
)
h
=
f
(
c
)
{\displaystyle F'(c)={\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}}=f(c)}
F
(
x
)
=
∫
0
x
t
2
d
t
⇒
F
′
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}t^{2}dt\Rightarrow F'(x)=x^{2}}
H
(
x
)
=
∫
10
exp
3
x
sin
(
t
)
d
t
⇒
H
′
(
x
)
=
sin
(
e
3
x
)
e
3
x
3
{\displaystyle H(x)=\int _{10}^{\exp {3x}}\sin(t)dt\Rightarrow H'(x)=\sin(e^{3x})e^{3x}3}
G
(
x
)
=
∫
0
x
2
arcsin
(
t
)
d
t
⇒
G
′
(
x
)
=
arcsin
(
x
2
)
2
x
{\displaystyle G(x)=\int _{0}^{x^{2}}\arcsin(t)dt\Rightarrow G'(x)=\arcsin(x^{2})2x}
Segon teorema fonamental
modifica
També se l'anomena Regla de Barrow , en honor d'Isaac Barrow .
Aquest teorema s'empra freqüentement per avaluar integrals definides.
Hipòtesi:
Sigui
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
Sigui
g
{\displaystyle g}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
g
′
(
x
)
=
f
(
x
)
∀
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle g'(x)=f(x){\ }\forall x\in [a,b]}
Tesi:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
g
(
b
)
−
g
(
a
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=g(b)-g(a)}
Demostració:
Sigui
F
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt}
Tenim pel primer teorema fonamental del càlcul que:
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
=
g
′
(
x
)
∀
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle F'(x)=f(x)=g'(x){\ }\forall x\in [a,b]}
Per tant:
∃
c
∈
R
{\displaystyle \exists c\in \mathbb {R} {\ }}
∀
x
∈
[
a
,
b
]
,
F
(
x
)
=
g
(
x
)
+
c
{\displaystyle \forall x\in [a,b],F(x)=g(x)+c}
Observem que:
0
=
F
(
a
)
=
g
(
a
)
+
c
{\displaystyle 0=F(a)=g(a)+c}
I d'aqui se segueix que
c
=
−
g
(
a
)
{\displaystyle c=-g(a)}
F
(
x
)
=
g
(
x
)
−
g
(
a
)
{\displaystyle F(x)=g(x)-g(a)}
I en particular si
x
=
b
{\displaystyle x=b}
∫
a
b
f
(
t
)
d
t
=
F
(
b
)
=
g
(
b
)
−
g
(
a
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)dt=F(b)=g(b)-g(a)}
∫
0
π
cos
(
x
)
d
x
=
sin
(
π
)
−
sin
(
0
)
=
0
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos(x)dx=\sin(\pi )-\sin(0)=0}
∫
1
e
d
x
x
=
ln
(
e
)
−
ln
(
1
)
=
1
{\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {dx}{x}}=\ln(e)-\ln(1)=1}
![{\displaystyle \,[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3481ed60d2bbdaaa1c3cbb8fc27f260c21615f89)
![{\displaystyle \alpha \in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0039890b40418e3f7fec101e69abe60369ebebe)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle m\leq f(x)\leq M\ \forall x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79f8502cfe0d0cb483ad5f10067c4faffc42ab4d)
![{\displaystyle g'(x)=f(x){\ }\forall x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec09903c9ad92ed894f0ec4db223ab7d07e1ceb)
![{\displaystyle F'(x)=f(x)=g'(x){\ }\forall x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbad2647046ee93e7deeee358961b8c35d85726a)
![{\displaystyle \forall x\in [a,b],F(x)=g(x)+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3503d8c09a1e524fe67920cdfff6446f7343dfc6)
