Test de la segona derivada

(S'ha redirigit des de: Test de la derivada segona)

El criteri de la segona derivada o test de la segona derivada és un teorema o mètode del càlcul matemàtic en el qual s'utilitza la segona derivada per efectuar una prova simple corresponent als màxims i mínims relatius.

Es basa en el fet que si la gràfica d'una funció és convexa en un interval obert que conté a , i ha de ser un mínim relatiu de . De manera similar, si la gràfica d'una funció és còncava cap avall en un interval obert que conté a i ha ser un màxim relatiu de .

TeoremaModifica

Sigui   una funció tal que   (  és un punt crític) i la segona derivada de   existeix en un interval obert que conté a  .[1]

  • Si  , llavors   té un mínim relatiu en  .
  • Si  , llavors   té un màxim relatiu en  .
  • Si  , llavors   potser tingui en   un màxim relatiu, un mínim relatiu o cap dels dos.

En el cas que  , es pot aplicar el test de la primera derivada per determinar si es tracta d'un extrem.

ExemplesModifica

  • Els punts crítics de la funció   són   i  . La funció és dues vegades derivable en entorns d'aquests punts i la seva segona derivada és  . Com que   i  , pel test de la segona derivada,   té un mínim local en   i un màxim local en  .[2]
  • La funció   és dues vegades derivable en un entorn del punt crític   però,  . No es pot establir si es tracta o no d'un extrem relatiu aplicant el test de la segona derivada.

Vegeu tambéModifica

Enllaços externsModifica

Criteri de la Segona Derivada. Universitat Michoacana de Sant Nicolau d'Hidalgo

ReferènciesModifica

  1. Llopis, José L. «Demostración del criterio de la segunda derivada» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 10 agost 2019].
  2. Llopis, José L. «Extremos y monotonía de funciones» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 10 agost 2019].