Espai euclidià
Un espai euclidià és un espai vectorial normat de dimensió finita, en què la norma és heretada d'un producte escalar.[1]
Primera aproximació
modificaL'espai euclidià treu el seu nom del matemàtic grec Euclides.[2] Històricament, l'espai euclidià consta només de l'espai físic de 2 o 3 dimensions: el pla o l'espai, en el qual estan definits el punts. Aquests espais euclidians naturals són els universos en què van ser demostrats tots els grans teoremes de la geometria plana o de l'espai. Són els objectes d'estudi de tots els geòmetres des d'abans d'Euclides fins al segle xix.
En el segle xix, aquesta visió de l'espai comença a mostrar els seus límits. És en aquest moment quan es va veure la necessitat de donar-li unes definicions més formals i més generals.
Definicions matemàtiques
modificaEspai vectorial euclidià
modificaUn espai vectorial euclidià és un espai vectorial sobre , de dimensió finita n i dotat d'un producte escalar.
En qualsevol espai vectorial, sempre s'hi pot trobar una base ortonormal. En una tal base, es defineix el producte escalar canònic per:
- .
Quan es té definit un producte escalar, és possible definir una norma, que s'anomena norma euclidiana:
- ,
i que també permet introduir la noció d'angle: l'angle geomètric entre dos vectors u, v no nuls, és un valor real comprès entre 0 i π, tal que:
Espai afí euclidià
modificaUn espai afí euclidià és l'espai afí associat a un espai vectorial euclidià.
S'hi pot definir una distància, nocions de l'angle geomètric, s'hi retroba el teorema de Pitàgores i la propietat de la suma dels angles de qualsevol triangle.
Exemples d'espai vectorial euclidià
modifica- L'espai , amb el producte escalar euclidià:
és un espai vectorial euclidià de dimensió n.
- L'espai vectorial dels polinomis de grau igual o inferior a n:
- amb el producte escalar euclidià:
és un espai euclidià de dimensió .
- amb el producte escalar:
és també un espai euclidià amb una norma diferent.
Propietats dels espais euclidians
modifica- En tot espai euclidià, es pot definir una base ortonormal. Més concretament, si és una base de , existeix una base ortonormal, tal que per a tot entre 1 i n, es compleix que:
- ,
en què s'entén per la varietat lineal engendrada per aquells elements de la base.
- Tot espai vectorial euclidià de dimensió és isomorf a .
- Tot espai vectorial euclidià és complet. És, per tant, un cas particular d'espai de Banach.
- Dos vectors amb producte escalar nul es diuen ortogonals. En tot subespai vectorial d'un espai euclidià es pot associar un únic subespai format per tots els vectors ortogonals a tots els vectors de , que és el seu ortogonal.
- Si és un vector de , l'aplicació producte escalar per , és una forma lineal. L'aplicació que associa a és un isomorfisme de l'espai vectorial en el seu dual .
- Si és un endomorfisme de , existeix un únic endomorfisme, que s'escriurà per i anomenat adjunt de , tal que:
Es defineix les nocions d'endomorfisme simètric si , i endomorfisme antisimètric si .
En una base ortonormal, la matriu de és la transposada de .
Referències
modifica- ↑ «Espai euclidià». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
- ↑ Lino Cabezas Gelabert, Luis Felipe Ortega De uhler. Anàlisi gràfica i representació geomètrica. Edicions Universitat Barcelona, 1999, p. 22. ISBN 8483381192.