Triangle de Tartaglia

El triangle de Tartaglia, també anomenat triangle de Pascal, és un esquema matemàtic utilitzat per a la potenciació de binomis. No és el que sembla, ja que amaga moltes dades sorprenents en ell.

Cada nombre del triangle és la suma de les dues xifres superiors.

Mètode de construccióModifica

Es comença amb un 1.


1

Després s'escriuen dos 1 a sota.

 1
1 1

A les següents files, els nombres són el resultat de sumar els dos nombres immediatament superiors. Els nombres situats als laterals, són sempre 1.

                                       1
                                    1     1
                                 1     2     1
                              1     3     3     1
                           1     4     6     4     1
                        1     5    10     10    5     1
                     1     6    15    20    15     6     1
                  1     7    21    35     35   21     7     1
               1     8    28    56    70    56    28     8     1
            1     9    36    84   126    126   84    36     9     1
         1    10    45   120   210   252   210   120    45    10     1

PropietatsModifica

El triangle de Tartaglia té diverses propietats interessants.

  • En primer lloc, notem que el resultat de sumar els elements de cada fila dóna una potència de 2:  . Aquest fet és conseqüència immediata del binomi de Newton, ja que:[1]

 

  • En segon lloc, donat un binomi a+b elevat a n, pel binomi de Newton es dóna la relació següent:

   

El triangle de Tartaglia ens permet saber els valors que prenen els factors  . En el triangle, podem buscar el coeficient binomial   del desenvolupament de   de la manera següent:

En el triangle busquem la filera n, començant des del 0. Notem que la filera té n+1 termes. Movent-nos en aquesta filera, el coeficient   és el terme i-èsim de la filera.

Exemples:

 

 

 

 

 
Triangle de Pascal amb una alçada de 512. Al pintar els nombres segons si són senars (blau) o parells (groc), apareix el triangle de Sierpinski.
  • Les fileres de cada triangle no són simètriques, ja que:  
  • Si ens quedem tan sols amb els múltiples de dos, el triangle guarda una certa similitud amb el triangle de Sierpinski.
  • Diagonals:
  • La conjectura de Singmaster postula que el nombre de vegades que apareix cada nombre major que 1 és finit. El nombre 3003 és l'únic que es coneix que apareix fins a vuit vegades al triangle.

HistòriaModifica

L'any 1303 matemàtics xinesos ja tenien coneixement d'aquesta matriu triangular.[3] Blaise Pascal la va redescobrir uns segles després.[2][4]

ReferènciesModifica

  1. 1,0 1,1 Paulos, 1993, p. 287.
  2. 2,0 2,1 Paulos, 1993, p. 284.
  3. Katz, V. J.. «Binomial Theorem and the Pascal Triangle». A: A History Of Mathematics: An Introduction. UniSA, 1992. 
  4. Fox, Peter. Cambridge University Library: The great collections, 1998, p. 13. ISBN 978-0-521-62647-7. 

Vegeu tambéModifica

BibliografiaModifica

  • Paulos, John Allen. Más allá de los números: meditaciones de un matemático. 1. ed.. Barcelona: Tusquets, 1993. ISBN 84-7223-687-0. 

Enllaços externsModifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Triangle de Tartaglia