Unitats de Planck

Les unitats de Planck són un sistema d'unitats que va ser proposat pel físic alemany Max Planck el 1899. Es tracta d'un sistema d'unitats naturals, ja que es basa en unes poques constants físiques fonamentals normalitzades en 1.

La teoria estàndard, en ús, reconeguda per la majoria dels físics, admet quatre constants:

• G, la constant gravitacional
• c, la velocitat de la llum en el buit
• ħ, la constant de Planck
• k_B, la constant de Boltzmann

A les anteriors, s'hi pot afegir la permitivitat en el buit ε₀.

Cadascuna d'aquestes constants pot ser associada almenys a una de les teories físiques fonamentals: c amb la relativitat especial, G amb la relativitat general i la gravitació newtoniana, $\hbar$ amb la mecànica quàntica, ε₀ amb l'electroestàtica i k amb la mecànica estadística i amb la termodinàmica. Les unitats de Planck tenen una rellevància especial per als físics teòrics, ja que simplifiquen les expressions algebraiques de les lleis físiques. Són especialment rellevants en la recerca de les teories unificadores com la de la gravetat quàntica.

Unitats de Planck bàsiques

Tots els sistemes d'unitats tenen unes unitats bàsiques, en el SI en són set i, per exemple, la unitat base de longitud és el metre. En el sistema d'unitats de Planck, hi ha cinc unitats de base que deriven de les cinc constants físiques esmentades. Com tots els sistemes d'unitats naturals, les unitats de Planck són una instància de l'anàlisi dimensional.

Admeses la constant gravitacional G, la constant de Planck ħ, la velocitat de la llum c, i la constant de Boltzmann k_b, les unitats de longitud (longitud de Planck l_p), de temps (temps de Planck t_p), de massa (massa de Planck m_p) i de temperatura (temperatura de Planck θ_p) poden ser expressades en termes de les constants universals com:

Nom	Magnitud	Expressió	Equivalent al SI amb incertesa	Altres equivalències
Longitud de Planck	Longitud (L)	$l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$	1,616 252(81) × 10−35 m
Massa de Planck	Massa (M)	$m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}$	2,176 44(11) × 10−8 kg	1,220 862(61)× 1019 GeV/c²
Temps de Planck	Temps (T)	$t_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}}{c}}={\frac {\hbar }{m_{\text{P}}c^{2}}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}$	5,391 24(27) × 10−44 s
Càrrega de Planck	Càrrega elèctrica (Q)	$q_{\text{P}}=m_{\text{P}}2\pi {\sqrt {G\varepsilon _{0}}}={\sqrt {\hbar c4\pi \varepsilon _{0}}}$	1,875 545 870(47) × 10−18 C	11,706 237 6398(40) e
Temperatura de Planck	Temperatura (Θ)	$T_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}c^{2}}{k}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{Gk^{2}}}}$	1,416 785(71) × 10³² K

Com el mateix Planck establí: "aquestes quantitats mantenen el seu significat natural tal com les lleis de la gravitació, de la propagació de la llum en el buit i la primera i la segona lleis de la termodinàmica, resten vàlides. Conseqüentment, han de mantenir-se sempre iguals, encara que siguin amidades per les més diferents intel·ligències, fins i tot amb els més diferents mètodes".

Unitats de Planck derivades

En qualsevol sistema de mesura, les unitats de moltes magnituds físiques poden ser derivades a partir de les unitats de base. En la taula següent, hi ha alguns exemples d'unitats de Planck derivades, algunes rarament utilitzades. Igual que les unitats de base, la seva utilització se centra gairebé en exclusiva dins del camp de la física teòrica, ja que la majoria són o massa grans o massa petites per a una utilització pràctica o empírica, a més del fet que presenten grans incerteses en els seus valors.

Nom	Dimensions	Expressió	Equivalent aproximat al SI
Àrea de Planck	Àrea (L²)	$l_{P}^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}$	2,61223 × 10–70 m²
Volum de Planck	Volum (L3)	$l_{P}^{3}=\left({\frac {\hbar G}{c^{3}}}\right)^{\frac {3}{2}}$	4,22419 × 10–105 m³
Moment de Planck	Moment (LMT–1)	$m_{P}c={\frac {\hbar }{l_{P}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}$	6,52485 kg m/s
Energia de Planck	Energia (L²MT–2)	$E_{P}=m_{P}c^{2}={\frac {\hbar }{t_{P}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}$	1,9561 × 10⁹ J
Força de Planck	Força (LMT–2)	$F_{P}={\frac {E_{P}}{l_{P}}}={\frac {\hbar }{l_{P}t_{P}}}={\frac {c^{4}}{G}}$	1,21027 × 1044 N
Potència de Planck	Potència (L²MT–3)	$P_{P}={\frac {E_{P}}{t_{P}}}={\frac {\hbar }{t_{P}^{2}}}={\frac {c^{5}}{G}}$	3,62831 × 1052 W
Densitat de Planck	Densitat (L–3M)	$\rho _{P}={\frac {m_{P}}{l_{P}^{3}}}={\frac {\hbar t_{P}}{l_{P}^{5}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}$	5,15500 × 1096 kg/m³
Freqüència angular de Planck	Freqüència (T–1)	$\omega _{P}={\frac {1}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}$	1,85487 × 1043 s−1
Pressió de Planck	Pressió (LM–1T–2)	$p_{P}={\frac {F_{P}}{l_{P}^{2}}}={\frac {\hbar }{l_{P}^{3}t_{P}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}$	4,63309 × 10113 Pa
Corrent de Planck	Corrent elèctric (QT–1)	$I_{P}={\frac {q_{P}}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{6}4\pi \varepsilon _{0}}{G}}}$	3,4789 × 1025 A
Voltatge de Planck	Voltatge (L²MT–2Q–1)	$V_{P}={\frac {E_{P}}{q_{P}}}={\frac {\hbar }{t_{P}q_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{G4\pi \varepsilon _{0}}}}$	1,04295 × 1027 V
Impedància de Planck	Resistència (L²MT–1Q–2)	$Z_{P}={\frac {V_{P}}{I_{P}}}={\frac {\hbar }{q_{P}^{2}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}$	29,9792458 Ω

Simplificació de les equacions fonamentals de la física

Les diferents magnituds físiques tenen unes dimensions diferents que no poden ser igualades numèricament: un segon no és el mateix que un metre. Però, en física teòrica, aquests detalls poden ser deixats de banda per tal de simplificar els càlculs. El procés que aconsegueix això s'anomena adimensionalització; en la taula següent, es mostra la utilització de les constants fonamentals per tal d'adimensionalitzar algunes equacions físiques:

	Forma habitual	Forma adimensionalitzada
Llei de la gravitació universal de Newton	$F=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$	$F=-{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$
Equació de Schrödinger	$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)$ $=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)$	$-{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)$ $=i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)$
Energia d'un fotó o d'una partícula de pulsació ω	${E=\hbar \omega }\$	${E=\omega }\$
L'equació massa-energia de la relativitat especial d'Einstein	${E=mc^{2}}\$	${E=m}\$
L'equació de camp d'Einstein de la relativitat general	${G_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}\$	${G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }}\$
Definició de la temperatura per l'energia d'una partícula per grau de llibertat	${E={\frac {1}{2}}kT}\$	${E={\frac {1}{2}}T}\$
Llei de Coulomb	$F={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$	$F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$
Equacions de Maxwell	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0\$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho \$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0\$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ $\nabla \times \mathbf {B} =4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

Vegeu també

• Llista de constants físiques.

Enllaços externs

• Plana sobre les unitats de Planck (anglès).