Usuari:Brill/proves/Seccions còniques

Una secció cònica, corba cònica o, simplement, una cònica és la corba intersecció d'uns superfície cònica de revolució i un pla que no passa pel vèrtex.

Estudi analític de les còniques

Excentricitat: $\varepsilon >0$

Recta directriu: $x=-m,(m>0)$

Focus: $F=(\varepsilon m,0)$

Distància del focus a la recta directriu: $m+\varepsilon m=(1+\varepsilon )m$

Punt genèric de la cònica: $P=(x,y)$

Distància del punt $P$ a la recta directriu: $|x+m|$

Radi vector (distància del punt $P$ al focus $F$): $r={\sqrt {(x-\varepsilon m)^{2}+y^{2}}}>0$

Semilatus rectum (radi vector o abscissa del focus) $p=\varepsilon (1+\varepsilon )m>0$

Definició:

${\dfrac {r}{|x+m|}}={\dfrac {\sqrt {(x-\varepsilon m)^{2}+y^{2}}}{|x+m|}}=\varepsilon$

o sigui,

$y^{2}=2\varepsilon (1+\varepsilon )mx-\left(1-\varepsilon ^{2}\right)x^{2}=2px-\left(1-\varepsilon ^{2}\right)x^{2}$

Si $\varepsilon >1$ la cònica es diu una hipèrbola, si $\varepsilon =1$ la cònica és una paràbola i, si $\varepsilon <1$, es tracta d'una el·lipse.

Fet 1. L'eix "$x$" és un eix de simetria de la cònica.

Paràboles:

Per a una paràbola, $\varepsilon =1$ i l'equació queda:

$y^{2}=2px$

Fet 2. L'única intersecció d'una paràbola amb l'eix "$x$" s'esdevé en el punt $(0,0)$. Tota la paràbola jau sobre l'interval $x\in [0.+\infty [$. Per a l'altra coordenada, $y\in ]-\infty ,+\infty [$.

El·lipses i hipèrboles

Semieix major

Per a una el·lipse o una hipèrbola, $\varepsilon \neq 1$. Si fem $y=0$

$2\varepsilon (1+\varepsilon )mx=\left(1-\varepsilon ^{2}\right)x^{2}$

o sigui

$2\varepsilon mx=(1-\varepsilon )x^{2}$

amb dues solucions:

$\left\{{\begin{array}{rl}x_{1}&=0\\x_{2}&={\dfrac {2\varepsilon m}{1-\varepsilon }}\end{array}}\right.$

La cònica talla, doncs, l'eix "$x$" en els punts

$(0,0)\,,\quad \left({\dfrac {2\varepsilon m}{1-\varepsilon }},0\right)$

i, si fem ${\dfrac {\varepsilon m}{1-\varepsilon }}=a$, els punts són:

$(0,0)\,,\quad (2a,0)$

El valor $|a|$ és el semieix major de la cònica, amb $a>0$ per a les el·lipses i $a<0$ per a les hipèrboles. L'equació d'el·lipses i hipèrboles queda així:

$y^{2}=\left(1-\varepsilon ^{2}\right)\left(2ax-x^{2}\right)$

Centre de simetria:

Considerem ara les abscisses $a+\xi$ i $a-\xi$. Tenim:

${\begin{alignedat}{1}y^{2}&=\left(1-\varepsilon ^{2}\right)\left(2a(a\pm \xi )-(a\pm \xi )^{2}\right)=\\&=\left(1-\varepsilon ^{2}\right)\left(2a^{2}\pm 2a\xi )-(a^{2}\pm 2a\xi +\xi )^{2}\right)=\\&=\left(1-\varepsilon ^{2}\right)\left(a^{2}-\xi ^{2}\right)\end{alignedat}}$

i el valor de $y^{2}$, cas de ser real, no depèn de si es considera l'abscissa $a+\xi$ o la $a-\xi$

Fet 3. La recta $x=a$, paral·lela a la directriu i perpendicular a l'eix "$x$", és un eix de simetria per a el·lipses i hipèrboles. Per tant, el punt $(a,0)$ és el centre de l'el·lipse o l'hipèrbola.

Focus i semidistància focal

Fet 4. Aquesta simetria respecte la recta $x=a$ fa que els simètrics respectius de la directriu $x=-m$ i del focus $F=(\varepsilon m,0)$, a saber, la recta $x=2a+m$ i el punt $F'=(2a-\varepsilon m)$ siguin, amb la mateixa excentricitat $\varepsilon$, altres directriu i focus de la mateixa el·lipse o hipèrbola. La distància $f=|a-\varepsilon m|=|\varepsilon a|$ es diu la semidistància focal.

Intervals d'existència de les abscisses:

Per tal que hi hagi punts de l'hipèrbola o de la el·lipse d'abscissa $x$ ha de ser

$y^{2}=\left(1-\varepsilon ^{2}\right)\left(2ax-x^{2}\right)\geq 0$

amb les possibilitats

$\left\{{\begin{array}{rl}\left(1-\varepsilon ^{2}\right)(2a-x)\geq 0,&{\mbox{si }}x>0\\\left(1-\varepsilon ^{2}\right)(2a-x)\leq 0,&{\mbox{si }}x<0\end{array}}\right.$

Per a les el·lipses, $\varepsilon <1$, $1-\varepsilon ^{2}>0$ i $a>0$, i les possibilitats són:

$\left\{{\begin{array}{rl}x\leq 2a&{\mbox{si }}x>0\\x\geq 2a&{\mbox{si }}x<0\end{array}}\right.$

La segona conclusió és contradictòria i, per tant, per a les el·lipses ha de ser $x\in [0,2a]$.

Per a les hipèrboles, $\varepsilon >1$, $1-\varepsilon ^{2}<0$ i $a<0$, i les possibilitats ara són:

$\left\{{\begin{array}{rl}x\geq 2a&{\mbox{si }}x>0\\x\leq 2a&{\mbox{si }}x<0\end{array}}\right.$

La primera conclusió es redueix a $x>0$ i la segona a $x\leq 2a$. Per tant, per a les hipèrboles ha de ser $x\in ]-\infty ,2a]\cup [0,+\infty [$.

Fet 5. Per a les el·lipses, l'abscissa $x$ queda restringida a l'interval $[0,2a]$ i per a les hipèrboles, l'abscissa $x$ pot prendre qualsevol valor excepte els de l'interval $]2a,0[$.

Radis vectors i propietats definitòries d'el·lipses i hipèrboles:

El sistema de coordenades $x'y'$, simètric del sistema $xy$ que estem considerant respecte al centre de simetria de l'el·lipse o hipèrbola, compleix

$x'=2a-x\,,\quad y'=-y$

i els respectius radis vectors des dels focus $F$ i $F'$ són

$r=\varepsilon |x+m|=\varepsilon |2a-x'+m|\,,\quad r'=\varepsilon |x'+m|=\varepsilon |2a-x+m|$

El·lipses

Per a les el·lipses, $x\in [0,2a]$ i $x'\in [0,2a]$ que implica $x+m>0$ i $x'+m>0$, o sigui

$r=\varepsilon (x+m)\,,\quad r'=\varepsilon (x'+m)=\varepsilon (2a-x+m)$

i, aleshores,

$r+r'=\varepsilon (x+m)+\varepsilon (2a-x+m)=2(\varepsilon a+\varepsilon m)=2\left(\varepsilon a+(1-\varepsilon )a\right)=2a$

que és la propietat definitòria de les el·lipses:

Fet 6. En una el·lipse, la suma dels dos radis vectors respecte als seus focus és constant i igual al doble del semieix major.

Hipèrboles

Per a les hipèrboles, $x\in ]-\infty ,2a[$ o $x\in [0,+\infty [$. Observem que, si $x\in ]-\infty ,2a[$, aleshores $x'\in [0,+\infty [$ i, inversament, si $x\in [0,+\infty [$, aleshores $x'\in ]-\infty ,2a[$. Quan $x\in ]-\infty ,2a[$ i $x'\in [0,+\infty [$,

$x+m\leq 2a+m={\dfrac {2\varepsilon m}{1-\varepsilon }}+m={\dfrac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}\,m<0\,,\quad x'+m>0$

i, quan $x\in [0,+\infty [$ i $x'\in ]-\infty ,2a[$

$x+m>0\,,\quad x'+m\leq 2a+m={\dfrac {2\varepsilon m}{1-\varepsilon }}+m={\dfrac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}\,m<0$

En el primer cas

$r=-\varepsilon (x+m)\,,\quad r'=\varepsilon (x'+m)=\varepsilon (2a-x+m)$

i, en el segon cas,

$r=\varepsilon (x+m)\,,\quad r'=-\varepsilon (x'+m)=-\varepsilon (2a-x+m)$

Finalment, en el primer cas,

$r-r'=-\varepsilon (x+m)-\varepsilon (2a-x+m)=-2(\varepsilon m+\varepsilon a)=-2\left((1-\varepsilon )a+\varepsilon a\right)=-2a>0$

i, en el segon cas,

$r'-r=-\varepsilon (2a-x+m)-\varepsilon (x+m)=-2(\varepsilon a+\varepsilon m)=-2\left(\varepsilon a+(1-\varepsilon )a\right)=-2a>0$

i, definitivament,

$\left|r-r'\right|=|2a|$

Fet 7. En una hipèrbola, el valor absolut de la diferència entre els dos radis vectors respecte als seus focus és constant i igual al doble del valor absolut del semieix major.

Interval d'existència de les ordenades:

El discriminant de l'equació de segon grau en la incògnita $x$

$\left(1-\varepsilon ^{2}\right)x^{2}-2\left(1-\varepsilon ^{2}\right)ax+y^{2}=0$

és

$\Delta =4\left(1-\varepsilon ^{2}\right)^{2}a^{2}-4\left(1-\varepsilon ^{2}\right)y^{2}=4\left(1-\varepsilon ^{2}\right)\left(\left(1-\varepsilon ^{2}\right)a^{2}-y^{2}\right)$

i, per tal que tingui solució, ha de ser

$\left(1-\varepsilon ^{2}\right)\left(\left(1-\varepsilon ^{2}\right)a^{2}-y^{2}\right)\geq 0$

El·lipses:

Per a les el·lipses, $1-\varepsilon ^{2}>0$ i, aleshores,

$y^{2}\leq \left(1-\varepsilon ^{2}\right)a^{2}$

Definim ara el {\sl semieix menor} $b>0$ així:

$b^{2}=\left(1-\varepsilon ^{2}\right)a^{2}$

i observem que, per a $x=a$,

$y^{2}=\left(1-\varepsilon ^{2}\right)\left(2aa-a^{2}\right)=\left(1-\varepsilon ^{2}\right)a^{2}=b^{2}$

Resulta:

Fet 8. En una el·lipse, el semieix menor $b$ és l'ordenada del centre de simetria $(a,0)$ i determina l'interval d'existència de l'ordenada $y$. \'Es $y\in [-b,b]$. A més per a la distància focal, $f^{2}=a^{2}-b^{2}$.

Hipèrboles:

Per a les hipèrboles, $1-\varepsilon ^{2}<0$ i, aleshores,

$y^{2}\geq \left(1-\varepsilon ^{2}\right)a^{2}$

i l'ordenada $y$ por prendre qualsevol valor.

Per analogia amb el cas de les el·lipses, definim ara el semieix menor $b>0$ per a les hipèrboles així:

$b^{2}=\left(\varepsilon ^{2}-1\right)a^{2}$

Tenim:

Fet 9. En hipèrbola, l'interval d'existència de l'ordenada $y$ és $y\in ]-\infty ,+\infty [$. Per a la distància focal, $f^{2}=a^{2}+b^{2}$.

Equacions polars de les còniques

Considerem un focus $F$ de la cònica, el radi vector $r$ que surt d'aquest focus, i l'angle $\theta$ del radi vector al segment de l'eix major qua va del focus $F$ a la recta directriu. Tenim

${\dfrac {r}{m+\varepsilon m-r\cos \theta }}=\varepsilon$

que dóna

$r={\dfrac {\varepsilon m(1+\varepsilon )}{1+\varepsilon \cos \theta }}={\dfrac {a\left(1-\varepsilon ^{2}\right)}{1+\varepsilon \cos \theta }}={\dfrac {\dfrac {b^{2}}{a}}{1+\varepsilon \cos \theta }}={\dfrac {p}{1+\varepsilon \cos \theta }}$

Aquestes expresions, són l'equació polar de la cònica, vàlida tant per a paràboles ($\varepsilon =1$) com per a hipèrboles ($\varepsilon >1$) i el·lipses ($\varepsilon <1$), i són de gran importància en mecànica celeste:

$r={\dfrac {p}{1+\varepsilon \cos \theta }}\,,\quad {\mbox{amb }}p={\dfrac {b^{2}}{a}}=a\left(1-\varepsilon ^{2}\right)=\varepsilon m(1+\varepsilon )$

Equacions cartesianes o reduïdes de les còniques

Per a les còniques amb centre, és a dir, per a hipèrboles i el·lipses, paga la pena situar l'origen de coordenades en el centre $(a,0)$ de la cònica i, d'aquesta manera, obtenir-ne les equacions reduïdes Fer això consisteix en el canvi de coordenades:

$x=X+a\,,\quad y=Y$

Aleshores, l'equació queda

${\begin{alignedat}{1}Y^{2}&=2\varepsilon (1+\varepsilon )m(X+a)-\left(1-\varepsilon ^{2}\right)(X+a)^{2}=\\&=(1+\varepsilon )\left(2\varepsilon m(X+a)-(1-\varepsilon )(X+a)^{2}\right)=\\&=(1+\varepsilon )\left(2(1-\varepsilon )a(X+a)-(1-\varepsilon )(X+a)^{2}\right)=\\&=\left(1-\varepsilon ^{2}\right)\left(2a(X+a)-(X+a)^{2}\right)=\\&=\left(1-\varepsilon ^{2}\right)\left(a^{2}-X^{2}\right)\end{alignedat}}$

Si es tracta d'una el·lipse, $\varepsilon <1$ i $b^{2}=\left(1-\varepsilon ^{2}\right)a^{2}$, però si és una hipèrbola, $\varepsilon >1$ i $b^{2}=-\left(1-\varepsilon ^{2}\right)a^{2}$. Aleshores, tot afegint l'equació de la paràbola,

Les equacions reduïdes de les còniques són: ${\mbox{El·lipse: }}{\dfrac {X^{2}}{a^{2}}}+{\dfrac {Y^{2}}{b^{2}}}=1\,,\quad {\mbox{hipèrbola: }}{\dfrac {X^{2}}{a^{2}}}-{\dfrac {Y^{2}}{b^{2}}}=1\,,\quad {\mbox{paràbola: }}Y^{2}=2pX$

Equacions generals

$Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

Còniques amb centre

Si l'equació de la cònica és homogènia, això és, de la forma

$Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+F=0$

aleshores, el punt $(x,y)$ és de la cònica si, i només si, ho és el punt $(-x,-y)$ i la cònica té simetria central, amb centre al punt $(0,0)$.

Història

Els primers treballs de Menecme. Euclides

Hom creu que la primera definició d'una secció cònica es deu a Menecme (va morir el 320 a. de C.) com a part de la seva solució del problema delià del problema delià (Duplicació del cub).El seu treball no ha sobreviscut, ni tan sols sabem quins noms feia servir per a aquestes corbes, i només se'l coneix a través de cites secundàries. Les definicions que es feien servir aleshores no són les comunes d'avui dia: els cons es construïen fent girar un triangle rectangle al voltant d'un dels seus catets per tal que la hipotenusa generés la superfície del con (tal línia serà la generatriu). Hom determinava tres tipus de cons, segons l'angle del vèrtex (mesurat pel doble de l'angle format per la hipotenusa i el catet que era l'eix de rotació). La secció cònica es determinava llavors per intersecció d'un d'aquests cons amb un pla perpendicular a una generatriu. El tipus de cònica quedava determinat pel tipus de con, és a dir, per l'angle format en el vèrtex del con: Si l'angle era agut llavors la cònica era una el·lipse; amb angle recte la cònica és una paràbola; i amb angle obtús reulta una hipèrbola (però només una branca de la corba).

D'Euclides (~300 aC) hom diu que escriví quatre llibres sobre còniques, però també s'han perdut. D'Arquimedes (mort al voltant del 212 aC) se sap que estudiava les còniques, i aconseguí determinar l'àrea delimitada per una paràbola i una corda en el seu tractat "Quadratura de la paràbola". El seu principal interès es va centrar en el mesurament d'àrees i volums de figures relacionades amb les còniques i part d'aquesta obra es conserva en el seu llibre sobre els sòlids de revolució generats per còniques, "Dels esferoides i els conoides".

Apol.loni de Perge i Pappus d'Alexandria

Diagrama del llibre Còniques d'Apol·loni, en una traducció aràbiga del segle IX

El major progrés en l'estudi de les còniques pels antics grecs es deu a Apol·loni de Perge (va morir al voltant de 190 aC), que en els vuit volums del seu tractat Seccions còniques o Còniques resum i amplia en gran manera el coneixement existent a l'època. L'estudi de Apol·loni de les propietats d'aquestes corbes va permetre demostrar que qualsevol pla que talli un con doble fix (dos fulls), independentment del seu angle, produirà una cònica d'acord amb la definició anterior, donant lloc a la definició comunament utilitzada avui dia. Els cercles, no construibles pel mètode anterior, també es poden obtenir d'aquesta manera. Això pot explicar per què Apol·loni va considerar els cercles un quart tipus de secció cònica, una distinció que avui ja no es fa. Apol·loni feia servir els noms el·lipse, paràbola i hipèrbola per a aquestes corbes, prenent en prèstec la terminologia dels primers treballs pitagòrics sobre àrees.

A Pappus d'Alexandria (mort cap al 350 dC) se li atribueix haver explicat la importància del concepte de focus d'una cònica, i detallar el conceptes relacionats d'excentricitat, focus i directriu, amb inclusió del cas de la paràbola, absent en les obres conegudes d'Apol·loni.

La matemàtica islàmica medieval

L'any 1000 dC el matemàtic islàmic Al-Quhí descriví per primera vegada un instrument per dibuixar seccions còniques i l'obra de Apol·loni va ser traduïda a l'àrab de tal manera que gran part de la seva obra només ha sobreviscut a través de la versió àrab. Els perses van trobar aplicacions a la teoria; la més notable de les quals va ser la del matemàtic i poeta persa Omar Khayyám, que feia servir seccions còniques per a resoldre equacions algebraiques.

Europa

Johannes Kepler va estendre la teoria de les còniques a través del "principi de continuitat", precursor del concepte de límit. Kepler va usar per primera vegada el terme foci en 1604.

Girard Desargues i Blaise Pascal van desenvolupar una teoria de còniques usant una forma primerenca de geometria projectiva i això va ajudar a promoure l'estudi d'aquest nou camp. En particular, Pascal va descobrir un teorema conegut com a hexagrammum mysticum quant a com es poden deduir moltes altres propietats de les còniques.

René Descartes i Pierre de Fermat tots dos van aplicar la recentment inventada geometria analítica a l'estudi de les còniques. Això va tenir l'efecte de reduir els problemes geomètrics de les còniques a problemes d'àlgebra. No obstant això, va ser John Wallis en el seu tractat de 1655 Tractatus de sectionibus conicis qui va definir per primera vegada les seccions còniques com a exemples d'equacions de segon grau. Escrit abans, però publicat després, els Elementa Curvarum Linearum de Johan de Witt comença amb la construcció de Kepler de les còniques i després desenvolupa les equacions algebraiques. Aquest treball, que utilitza la metodologia de Fermat i la notació de Descartes, ha estat descrit com el primer llibre de text sobre el tema. De Witt va inventar el terme 'directriu'.